8.1.4 parte c

Re: 8.1.4 parte c

de Facundo Campal Caputi -
Número de respuestas: 2

Hola, seguramente haya varias formas de resolverlo, te doy algunas ideas para que lo intentes resolver y cualquier cosa volves a preguntar.

Primero que nada notar que  \sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{(x-a)(x+a)} así que podríamos separar el limite en dos terminos así:

\displaystyle\lim_{x \to a^+} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{ a}}{\sqrt{ x^2-a^2 }}+\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{(x-a)(x+a)}}=\displaystyle\lim_{x \to a^+} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{ a}}{\sqrt{ x^2-a^2 }}+\frac{1}{\sqrt{(x+a)}}

Ahora el segundo término tiende a un número así que ya no es un problema. Para el primer término te recomiendo que plantees Taylor de  \sqrt{x} , con eso y haciendo algunas operaciones se llega a un resultado (sin el término que te estaba complicando).

Si queres verificar el resultado podes usar Lhopital.
En respuesta a Facundo Campal Caputi

Re: 8.1.4 parte c

de Delfina Bovio Amorin -

Buenas tardes, una consulta sobre este ejercicio, cuando aplico Taylor al primer término está bien tomar n igual a 1? 

En respuesta a Delfina Bovio Amorin

Re: 8.1.4 parte c

de Valeria Goicoechea -
En realidad, no precisas Taylor para calcular ese límite. Como comentaba Facundo, el problema está en calcular:
\lim_{x\rightarrow a^+} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{(x-a)(x+a)}}
pero
\lim_{x\rightarrow a^+} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{(x-a)(x+a)}}= \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{(x-a) (x+a)}}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\\ =\lim_{x\rightarrow a^+} \frac{x-a}{\sqrt{x-a}}\frac{1}{\sqrt{x+a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})} =\lim_{x\rightarrow a^+} \sqrt{x-a} \frac{1}{2\sqrt{2} a}=0