Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 7: Cálculo de integrales

Buenas

Tienes un error al aplicar cambio de variables en la parte a. Tu utilizas que $\tan^{\prime}(x) = \tan^{2}(x) + 1$ lo cual esta bien, pero entonces la integral seria

$\displaystyle \int \tan^{n+1}(x) dx = \int \tan^{n-1}(x) \tan^{2}(x) dx = \int \tan^{n-1}(x)(\tan^{2}(x) +1) + \tan^{n-1}(x) dx$

es decir debes sumar y restar $\tan^{n-1}$ no $1$. Si observas podrias aplicar inducción para resolver la integral. pero la idea no es calcular la integral, sino simplemente la desigualdad.

En este caso en concreto puedes observar que el integrando es menor pues

Si $x \in [0,\frac{\pi}{4}]$ entonces $0 \leq \tan(x) \leq 1$. Luego $\tan^{n+1}(x) \leq \tan^{n}(x)$.

Para las partes siguientes puedes usar las anteriores

Cualquier duda vuelve a escribir

Saludos