Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Estudiando el signo de la derivada obtienes que en $x = -1-\sqrt{2}$ tienes un minimo relativo y en $x = -1 + \sqrt{2}$ tienes un máximo relativo.

Si te preguntaran por el máximo y el mínimo en un intervalo cerrado (que sabes que existe por Weierstrass) tendrias que evaluar la funcion en los extremos y en los puntos criticos.

Si por ejemplo te piden los extremos en el intervalo [-100,100] obtendrias que el minimo se realizar en $x = -1-\sqrt{2}$.

Como estudiar entonces cuando no es un intervalo cerrado. En este caso, como$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1$, lo que haremos es tomar un intervalo cerrado "grande" donde lo que valga $f$ "fuera" del intervalo sea cercano a 1.

Primero observemos que $\frac{x+1}{x^{2}+1}$ evaluado en $x = -1-\sqrt{2}$ es menor que 0, mientras que en $x = -1 + \sqrt{2}$ es mayor que 0.

Es decir $f(-1-\sqrt{2}) < 1 < f(-1+\sqrt{2})$.

Tenemos que $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1$. Por definicion de limite en infinito esto quiere decir que existen $a, b \in \mathbb{R}$ con $a < b$ tal que

$f(x) > f(-1-\sqrt{2})$ para todo $x \leq a$, y $f(x) < f(-1+\sqrt{2})$ para todo $x \geq b$

Luego el mínimo de $f$ en [a,b] se da en $x = -1-\sqrt{2}$ y para todo $s \notin [a,b]$ se tiene que $f(s) > f(-1-\sqrt{2})$ es decir $f$ tiene un mínimo absoluto en $x = -1-\sqrt{2}$. Lo mismo puedes hacer para el maximo

Cualquier cosa vuelve a escribir

Saludos