Consultas sobre los cuestionarios

Buenas

La idea es usar valor medio de Lagrange

A partir de la la desigualdad $\displaystyle \frac{n}{3} < f(n^{2}) - f(n) < 3n$ podemos garantizar que existe $c_{n} \in (n,n^{2})$ tal que

$\frac{n}{3} \times \frac{1}{n^{2}- n} \leq f^{\prime})c_{n} \leq \frac{3n}{n^{2} - n}$

Mas aun $0 < f^{\prime}(c_{n}) < \frac{3}{n}$

Tenemos así que, en caso de existir el limite en infinito (dato que sabemos por hipótesis) debe cumplir que

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 0 \leq \lim_{x \to +\infty} f^{\prime}(x) \leq \lim_{x\to +\infty} \frac{3}{x} = 0$

Es un ejercicio delicado si quieres puedo dar una explicación mas detallada de este ultimo paso en concreto

Cualquier cosa vuelve a escribir

Saludos