Ejercicio 3

Ejercicio 3

de Franco Pelua Camacho -
Número de respuestas: 3

Hola, buenas tardes.

La letra del ejercicio 3:

Dice que probemos una propiedad sobre las transformaciones lineales unitarias/ortogonales. Al principio, intenté sacarlo usando que si consideramos dos operadores lineales T y S, tales que T y S son unitarios/ortogonales, entonces T y S son isometrías lineales sobreyectivas... Ahí surgió mi duda, porque en realidad esa proposición te exige que la transformación que consideras sea en particular un operador. Entonces fui a leer las notas para ver bien las definiciones, y me di cuenta de que en todas las definiciones de transformaciones unitarias/ortogonales, se consideran operadores lineales. Por ejemplo:
 

Entonces. cuando en un práctico leo "Transformación lineal" en el contexto de transformaciones unitarias y ortogonales, ¿puedo suponer que es un operador lineal más específicamente?

En respuesta a Franco Pelua Camacho

Re: Ejercicio 3

de Juan Piccini -

Hola Franco, tu pregunta es una excusa excelente para aportar al tema:

El concepto de isometría lineal vale aunque el dominio V y codominio W no sean el mismo EV.

El que T tenga inversa y adjunta y que además ambas coincidan es una definición que no  necesita V=W.

Ahora bien, cuando nos adentramos en el tema de valores y vectores propios (teoremas espectrales), entonces hablar de ello solamente tiene sentido cuando V=W, por eso  se habla de operador, aunque la definición de unitario u ortogonal es perfectamente viable con V y W no necesariamente iguales.

De hecho si te fijas, se prueban teoremas sobre isometrías sobreyectivas con TL de V en W, y los operadores unitarios recién aparecen en la prop. 8.1, cuando se prueba que un operador es unitario sii es isometría sobreyectiva, y si miras la prueba de 8.1 verás que la misma funciona igual si T:V-->W, ya que lo importante es que por hipótesis T es invertible y que su inversa es su adjunta.

La prueba del ejercicio 3 puede hacerse en el contexto más general de TL, y casi sin cuentas, dado que ya se sabe que la composición de TL es TL, que si cada una tiene inversa entonces la composición también tiene inversa (y es la composición de las inversas en orden inverso, valga el trabalenguas), lo mismo para la adjunta.

Saludos

J.



En respuesta a Juan Piccini

Re: Ejercicio 3

de Franco Pelua Camacho -

Al final pude sacar el 3, y como decís tu, era casi sin cuentas y mucho más sencillo si jajaja, igual dejé la pregunta porque me resultaba interesante. 

Me había fijado en cómo demostraban el 8.1 para ver si en algún momento usaban que la transformación era operador, pero como no lo vi, solo se me ocurrió pensar que se usaba implícitamente en algún lado y no me estaba dando cuenta, esa era otra duda, así que dos pájaros de un tiro.

Muchas gracias por tu respuesta!