Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 6: Derivación

Buenas

Lo que mencionas sobre las derivadas hay que justificar un poquito mas. La propiedad a usar es la siguiente

Sean $f,g$ dos funciones derivables.

Si $f(a) = g(a)$ y $f^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(x)$ para todo $x$ entonces $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \geq a$ y $f(x) \geq g(x)$ para todo $x \leq a$. La propiedad se puede trasladar a desgualdades estrictas, te dejo para que lo revises.

Esta propiedad se puede probar por valor medio, crecimiento a partir de la derivada, etc. Si quieres que la veamos escribe denuevo

Para la parte b, la idea es usar $x$ o $y$ como parámetro (al igual que $\alpha$).

Supongamos que $x \geq y$ y $\sin(\alpha x) \geq \sin(\alpha y)$. Los otros casos son análogos

Tomemos $f(x) = \sin(\alpha x) - \sin(\alpha y)$ y $g(x) = \alpha (x - y)$. Observa que en $x = y$ se cumple que $f(y) = g(y) = 0$. Por otro lado $f^{\prime}(x) = \alpha \cos(\alpha x) \leq \alpha = g^{\prime}(x)$

De esta forma podemos aplicar la propiedad anterior.

Cualquier cosa vuelve a escribir

Saludos