MD1-1S: Inversa de una función generatriz

Me pregunto por la unicidad de la inversa. De la lectura del material no se desprende directamente. Pero se llega a determinar su coeficiente enésimo. Pero este está determinado de forma recursiva, en función de los anteriores. Por lo que me entra la duda. Quizá exceda o no sea relevante para el curso. Pero me surgió la cuestión y quería plantearla.

Re: Inversa de una función generatriz

de Miguel Ángel Risso Martínez - sábado, 1 de junio de 2024, 01:40

Suponé que

$G$ es el conjunto de funciones generatrices,

$A(x) \in G$ es invertible, y

$1(x) = 1$ es el neutro del producto en

$G$ ; es decir,

$V(x) \cdot 1(x) = 1(x) \cdot V(x) = V(x) \; \forall V(x) \in G$ .

Que

$A(x)$ sea invertible quiere decir que

$\exists A^{-1}(x) \in G : A(x) \cdot A^{-1}(x) = A^{-1}(x) \cdot A(x) = 1(x)$ , donde

$A^{-1}(x)$ es la inversa de

$A(x)$ .

Como el producto de funciones generatrices es conmutativo, la condición de inversa puede ser simplificada a

$\exists A^{-1}(x) \in G : A(x) \cdot A^{-1}(x) = 1(x)$ .

Una forma sencilla de probar que la inversa es única es suponer que hay dos funciones generatrices que cumplen la condición anterior, y llegar a que son iguales.

Sean

$B(x),C(x) \in G : A(x) \cdot B(x) = A(x) \cdot C(x) = 1(x)$ .

Multiplicando todos los términos de la igualdad por

$B(x)$ ,

$B(x) \cdot (A(x) \cdot B(x)) = B(x) \cdot (A(x) \cdot C(x)) = B(x) \cdot 1(x)$ .

Aplicando la propiedad asociativa del producto de funciones generatrices a las expresiones de la izquierda y del medio, y que

$B(x) \cdot 1(x) = B(x)$ en la expresión de la derecha, se llega a que

$(B(x) \cdot A(x)) \cdot B(x) = (B(x) \cdot A(x)) \cdot C(x) = B(x)$ .

Aplicando la propiedad conmutativa del producto,

$B(x) \cdot A(x) = A(x) \cdot B(x)$ , que por hipótesis es también

$1(x)$ . Entonces,

$(B(x) \cdot A(x)) \cdot B(x) = 1(x) \cdot B(x) = B(x)$ y

$(B(x) \cdot A(x)) \cdot C(x) = 1(x) \cdot C(x) = C(x)$ .

Entonces, la igualdad

$(B(x) \cdot A(x)) \cdot B(x) = (B(x) \cdot A(x)) \cdot C(x) = B(x)$ es equivalente a

$B(x) = C(x) = B(x)$ .

Por lo tanto, como al suponer que habían dos funciones generatrices

$B(x),C(x) \in G$ que eran inversas de una función generatriz

$A(x)$ llegamos a que

$B(x) = C(x)$ , la inversa es única.

Re: Inversa de una función generatriz

de Roberto Elbio Peroni Martinez - sábado, 1 de junio de 2024, 07:41

Lujo
Gracias

Re: Inversa de una función generatriz

de Claudio Qureshi - lunes, 3 de junio de 2024, 15:29

Hola Roberto, es interesante tu pregunta y realmente se me pasó colocar un pequeño comentario sobre eso cuando escribí las notas.

La demostración de Miguel Ángel es correcta (esencialmente es la demostración que se ve en Teoría de Grupos para probar la unicidad del inverso en general).

En el caso particular de funciones generatrices es bastante más simple, solo basta notar que la sucesión (bn) (del principio de la página 8 de las notas) queda unívocamente determinada pues cada término b_n queda determinado conociendo todos los términos anteriores (hay que asumir que la sucesión (an) es dada). Y además (se desprende de la prueba que) la sucesión (bn) es la única que verifica las condiciones 1 y 2, que es equivalente a la invertibilidad.

Saludos,
Claudio.

Re: Inversa de una función generatriz

de Roberto Elbio Peroni Martinez - lunes, 3 de junio de 2024, 19:13

Impeca