Actualización 2:
Buenas. Actualizo con otros dos errores que me encontré, ambos en el Corolario 3.8.2. (pág 56). El segundo se desprende del error (3) expuesto arriba.
4) En el item 4 de dicho corolario se enuncia para un grupo (G, *, e), g∈G:
G=<g> ⟺ ( ∀d: (d | |G| ∧ d ≠ |G|) ⟹ g^(d)≠e )
Un contraejemplo a esta afirmación es el grupo trivial (G,*,e), G={e}, g=e ⟹ |G|=1, G=<g>. Si la afirmación fuera cierta, entonces tendríamos ∀d: (d | 1 ∧ d ≠ 1) ⟹ g^(d)≠e. Tomemos d tal que d | 1 ∧ d ≠ 1, la única opción es d=-1. Por lo tanto g^(-1)≠e, pero g^(-1)=e^(-1)=e, absurdo. Para ser cierta la afirmación, se debe exigir d>0.
5) En el item 5 del mismo corolario, se enuncia para un grupo (G, *, e), g∈G:
G=<g> ⟺ ( ∀p: (p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo) ⟹ g^(|G|/p)≠e )
Un contraejemplo es el grupo (ℤ₂,+,[0]), g=[0] ⟹ |G|=2, G=<g>. Por lo visto en el error (3) arriba, al ser |G|=2, no existe p tal que : p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo. Por lo tanto se cumple que ∀p: (p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo) ⟹ g^(|G|/p)≠e. Si la afirmación fuera cierta, se tendría que cumplir que G=<g>, pero <g>=<[0]>={[0]}≠G, absurdo.
Saludos.
Buenas. Actualizo con otros dos errores que me encontré, ambos en el Corolario 3.8.2. (pág 56). El segundo se desprende del error (3) expuesto arriba.
4) En el item 4 de dicho corolario se enuncia para un grupo (G, *, e), g∈G:
G=<g> ⟺ ( ∀d: (d | |G| ∧ d ≠ |G|) ⟹ g^(d)≠e )
Un contraejemplo a esta afirmación es el grupo trivial (G,*,e), G={e}, g=e ⟹ |G|=1, G=<g>. Si la afirmación fuera cierta, entonces tendríamos ∀d: (d | 1 ∧ d ≠ 1) ⟹ g^(d)≠e. Tomemos d tal que d | 1 ∧ d ≠ 1, la única opción es d=-1. Por lo tanto g^(-1)≠e, pero g^(-1)=e^(-1)=e, absurdo. Para ser cierta la afirmación, se debe exigir d>0.
5) En el item 5 del mismo corolario, se enuncia para un grupo (G, *, e), g∈G:
G=<g> ⟺ ( ∀p: (p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo) ⟹ g^(|G|/p)≠e )
Un contraejemplo es el grupo (ℤ₂,+,[0]), g=[0] ⟹ |G|=2, G=<g>. Por lo visto en el error (3) arriba, al ser |G|=2, no existe p tal que : p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo. Por lo tanto se cumple que ∀p: (p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo) ⟹ g^(|G|/p)≠e. Si la afirmación fuera cierta, se tendría que cumplir que G=<g>, pero <g>=<[0]>={[0]}≠G, absurdo.
Saludos.