Foro de dudas de teórico

Hola Alexis, como el EV es el espacio de las funciones continuas, si $\lambda_0\notin [a,b]$ entonces es claro que debe ser $f_0(x)=0\forall x\in [a,b]$, y como las funciones constantes son continuas, debería ser $f_0=O_V$ y tienes el absurdo.

Pero si $\lambda_0\in [a,b]$, entonces perfectamente podría suceder que $f_0(x)=0\;\forall x\in [a,b],x\neq\lambda_0$, $f_0(\lambda_0)=\lambda_0$  y se cumpliría la igualdad, pero esta $f_0$ no es un vector perteneciente al espacio porque no es continua (a menos que $\lambda_0=0$), no podríamos llegar a un absurdo.

La continuidad es la que te permite llegar al absurdo cuando $\lambda_0\in [a,b]$.

Saludos.

J.