Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 6: Derivación

Buenas

El problema se puede resolver de varias manera. Voy a usar una herramienta que se aplica para varios problemas.

Trabajaremos primero en el intervalo $[0,\frac{1}{2}]$. Supongamos por absurdo que $f^{\prime \prime}(x) \leq 4$ para todo $x \in (0,\frac{1}{2}]$.

Usaremos la propiedad que dice: sean $f,g$ dos funciones derivables, si $f(a) = g(a)$ y $f^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(x)$ para todo $x$ entonces $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \geq a$. Puedes ver esta propiedad para este caso en el ejercicio 6.7-8. En este caso concreto $g^{\prime}$ constante, puedes verlo aqui

Esta propiedad puedes deducirla aplicando la relación entre crecimiento y derivada a la función $h(x) = f^{\prime}(x) - 4x$ y es una herramienta que te resultara útil en el ejercicio 6.8-8.

Pensemos ahora una función $g$ cuya derivada segunda sea constante $4$ y $g(0) = 0$, $g^{\prime}(0) = 0$. Podemos tomar por ejemplo $g(x) = 2x^2$

Tenemos entonces que $g(0) = f(0)$ y $g^{\prime}(0) = f^{\prime}(0)=0$.

Como  $f^{\prime \prime} \leq g^{\prime \prime}(x) = 4$ y $g^{\prime}(0) = f^{\prime}(0)$ tenemos entonces que $f^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(x) = 4x$ para todo $x \in [0,\frac{1}{2})$.

Volviendo a aplicar la propiedad tenemos que $f(x) \leq 2x^{2}$ para todo $x \in [0,\frac{1}{2})$.

Ahora hay que observar que si $f^{\prime \prime}(x_{0}) < 4$ para algún $x_{0}$ entonces $f^{\prime}(x) < 4x$ para todo $x \in (x_{0},\frac{1}{2}]$ y luego $f(x) < 2x^{2}$ para todo $x \in (x_{0},\frac{1}{2}]$, en particular $f(\frac{1}{2}) < \frac{1}{2}$.

Si planteas el problema análogo en el intervalo $[\frac{1}{2},1)$, con $h(t) = 2(1-t)^2 + 1$ obtendrás que $f(\frac{1}{2}) > \frac{1}{2}$ o bien $f^{\prime \prime}(x) = - 4$

Aquí obtuvimos dos opciones, o bien una formula explicita para $f$ (en los intervalos $(0,\frac{1}{2}]$ y $[\frac{1}{2},1)$) pero esta función no es dos veces derivable o bien una contradicción en $f(\frac{1}{2})$

Cualquier cosa volve a preguntar

Saludos