6.10.4

6.10.4

de Matías Raúl Mirandetti Duarte -
Número de respuestas: 1

hola, no logro encontrar una manera de hacer esta demostración, probé usar el teorema de lagrange y de rolle, pero no conseguí llegar a nada

En respuesta a Matías Raúl Mirandetti Duarte

Re: 6.10.4

de Marcos Barrios -

Buenas

El problema se puede resolver de varias manera. Voy a usar una herramienta que se aplica para varios problemas.

Trabajaremos primero en el intervalo [0,\frac{1}{2}]. Supongamos por absurdo que f^{\prime \prime}(x) \leq 4 para todo x \in (0,\frac{1}{2}].

Usaremos la propiedad que dice: sean f,g dos funciones derivables, si f(a) = g(a) y f^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(x) para todo x entonces f(x) \leq g(x) para todo x \geq a. Puedes ver esta propiedad para este caso en el ejercicio 6.7-8. En este caso concreto g^{\prime} constante, puedes verlo aqui

Esta propiedad puedes deducirla aplicando la relación entre crecimiento y derivada a la función h(x) = f^{\prime}(x) - 4x y es una herramienta que te resultara útil en el ejercicio 6.8-8.

Pensemos ahora una función g cuya derivada segunda sea constante 4 y g(0) = 0, g^{\prime}(0) = 0. Podemos tomar por ejemplo g(x) = 2x^2

Tenemos entonces que g(0) = f(0) y g^{\prime}(0) = f^{\prime}(0)=0.

Como  f^{\prime \prime} \leq g^{\prime \prime}(x) = 4 y g^{\prime}(0) = f^{\prime}(0) tenemos entonces que f^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(x) = 4x para todo x \in [0,\frac{1}{2}).

Volviendo a aplicar la propiedad tenemos que f(x) \leq 2x^{2} para todo x \in [0,\frac{1}{2}).

Ahora hay que observar que si f^{\prime \prime}(x_{0}) < 4 para algún x_{0} entonces f^{\prime}(x) < 4x para todo x \in (x_{0},\frac{1}{2}] y luego f(x) < 2x^{2} para todo x \in (x_{0},\frac{1}{2}], en particular f(\frac{1}{2}) < \frac{1}{2}.

Si planteas el problema análogo en el intervalo [\frac{1}{2},1), con h(t) = 2(1-t)^2 + 1 obtendrás que f(\frac{1}{2}) > \frac{1}{2} o bien f^{\prime \prime}(x) = - 4

Aquí obtuvimos dos opciones, o bien una formula explicita para f (en los intervalos (0,\frac{1}{2}] y [\frac{1}{2},1)) pero esta función no es dos veces derivable o bien una contradicción en f(\frac{1}{2})

Cualquier cosa volve a preguntar

Saludos