hola, no logro encontrar una manera de hacer esta demostración, probé usar el teorema de lagrange y de rolle, pero no conseguí llegar a nada
Buenas
El problema se puede resolver de varias manera. Voy a usar una herramienta que se aplica para varios problemas.
Trabajaremos primero en el intervalo . Supongamos por absurdo que
para todo
.
Usaremos la propiedad que dice: sean dos funciones derivables, si
y
para todo
entonces
para todo
. Puedes ver esta propiedad para este caso en el ejercicio 6.7-8. En este caso concreto
constante, puedes verlo aqui
Esta propiedad puedes deducirla aplicando la relación entre crecimiento y derivada a la función y es una herramienta que te resultara útil en el ejercicio 6.8-8.
Pensemos ahora una función cuya derivada segunda sea constante
y
,
. Podemos tomar por ejemplo
Como y
tenemos entonces que
para todo
.
Volviendo a aplicar la propiedad tenemos que para todo
.
Ahora hay que observar que si para algún
entonces
para todo
y luego
para todo
, en particular
.
Si planteas el problema análogo en el intervalo , con
obtendrás que
o bien
Aquí obtuvimos dos opciones, o bien una formula explicita para (en los intervalos
y
) pero esta función no es dos veces derivable o bien una contradicción en
Cualquier cosa volve a preguntar
Saludos