6.4 ejercicio 3 parte c

Re: 6.4 ejercicio 3 parte c

de Marcos Barrios -
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Buenas

Primero veamos que estamos en las codiciones de L'Hopital.

Tomando f(x) = \log^{2}(x) y g(x) = \sqrt{x} tenemos que ambas funciones son derivables en [1,+\infty) y \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty por lo que efectivamente podemos aplicar la regla de L'Hopital.

Derivando una vez tenemos que f^{\prime}(x) = \frac{2\log(x)}{x} y g^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Luego

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2\log(x)}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4\log(x)}{\sqrt{x}}

Recuerda que  (una vez verifcado que estas en las hipotesis) la regla de L'Hopital, dice que si existe el limite \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} entonces es igual a \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}.

Pero ahora tenemos este nuevo limite \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4\log(x)}{\sqrt{x}} y para calcularlo podemos aplicar de nuevo L'Hopital pero no para f^{\prime} y g^{\prime} sino para el numerador y denominador que tenemos en esta nueva expresión.

Intenta continuar desde aqui y cualquier cosa vuelve a escribir

Saludos