Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 6: Derivación

Buenas

Primero veamos que estamos en las codiciones de L'Hopital.

Tomando $f(x) = \log^{2}(x)$ y $g(x) = \sqrt{x}$ tenemos que ambas funciones son derivables en $[1,+\infty)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty$ por lo que efectivamente podemos aplicar la regla de L'Hopital.

Derivando una vez tenemos que $f^{\prime}(x) = \frac{2\log(x)}{x}$ y $g^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Luego

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2\log(x)}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4\log(x)}{\sqrt{x}}$

Recuerda que  (una vez verifcado que estas en las hipotesis) la regla de L'Hopital, dice que si existe el limite $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ entonces es igual a $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$.

Pero ahora tenemos este nuevo limite $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4\log(x)}{\sqrt{x}}$ y para calcularlo podemos aplicar de nuevo L'Hopital pero no para $f^{\prime}$ y $g^{\prime}$ sino para el numerador y denominador que tenemos en esta nueva expresión.

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Saludos