6.2-6

Re: 6.2-6

de Marcos Barrios -
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Buenas

Veamos primero el caso donde P = (0,0), luego trata de adaptar los argumentos al caso general y si tienes dudas vuelve a escribir.

Tomemos un Q = (x_{0},y_{0}) con y_{0} > 0. El caso y_{0} < 0 es análogo y el caso y_{0} = 0 se puede estudiar aparte.

Para encontrar la recta tangente debemos dar la circunferencia como una función de una variable y calcular la tangente a partir de la derivada, como estamos trabajando en este capítulo.

En este caso, la ecuación de la circunferencia es x^2 + y^2 = r^2. Por lo que para la semicircunferencia superior tenemos y = f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}.

El punto Q = (x_{0},y_{0}) pertenece a la semicircunferencia superior, es decir Q = (x_{0},\sqrt{r^2 - x_{0}^2}) y la recta tangente a la circunferencia por Q es

s(x) = f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) + f(x_{0}) = \frac{-2x_{0}}{2\sqrt{r^{2}-x_{0}^{2}}} \times (x-x_{0}) + \sqrt{r^2 - x_{0}^2}

Por otro lado la recta que pasa por P = (0,0) \text{ y } Q es

t(x) = \frac{\sqrt{r^{2}-x_{0}^{2}}}{x_{0}} \times x

En conclusión

s(x) = \alpha_{1}x + \beta_{1} con \alpha_{1} = \frac{-x_{0}}{\sqrt{r^{2}-x_{0}^{2}}}, mientras t(x) = \alpha_{2} x con \alpha_{2} = \frac{\sqrt{r^{2}-x_{0}^{2}}}{x_{0}}

Como \alpha_{1} \times \alpha_{2} = -1 las rectas son perpendiculares

Agrego un pequeño bosquejo de la situación (con r = 3), si continuas con dudas vuelve a escribir