Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 6: Derivación

Buenas

Veamos primero el caso donde $P = (0,0)$, luego trata de adaptar los argumentos al caso general y si tienes dudas vuelve a escribir.

Tomemos un $Q = (x_{0},y_{0})$ con $y_{0} > 0$. El caso $y_{0} < 0$ es análogo y el caso $y_{0} = 0$ se puede estudiar aparte.

Para encontrar la recta tangente debemos dar la circunferencia como una función de una variable y calcular la tangente a partir de la derivada, como estamos trabajando en este capítulo.

En este caso, la ecuación de la circunferencia es $x^2 + y^2 = r^2$. Por lo que para la semicircunferencia superior tenemos $y = f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$.

El punto $Q = (x_{0},y_{0})$ pertenece a la semicircunferencia superior, es decir $Q = (x_{0},\sqrt{r^2 - x_{0}^2})$ y la recta tangente a la circunferencia por $Q$ es

$s(x) = f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) + f(x_{0}) = \frac{-2x_{0}}{2\sqrt{r^{2}-x_{0}^{2}}} \times (x-x_{0}) + \sqrt{r^2 - x_{0}^2}$

Por otro lado la recta que pasa por $P = (0,0) \text{ y } Q$ es

$t(x) = \frac{\sqrt{r^{2}-x_{0}^{2}}}{x_{0}} \times x$

En conclusión

$s(x) = \alpha_{1}x + \beta_{1}$ con $\alpha_{1} = \frac{-x_{0}}{\sqrt{r^{2}-x_{0}^{2}}}$, mientras $t(x) = \alpha_{2} x$ con $\alpha_{2} = \frac{\sqrt{r^{2}-x_{0}^{2}}}{x_{0}}$

Como $\alpha_{1} \times \alpha_{2} = -1$ las rectas son perpendiculares

Agrego un pequeño bosquejo de la situación (con $r = 3$), si continuas con dudas vuelve a escribir