6.2 ej 11

6.2 ej 11

de Joaquín Gonzalez Garisto -
Número de respuestas: 1

Sea f : R → R una función derivable en 0, y r : R → R la ecuación de la recta tangente por 0. Probar que r es la mejor aproximación lineal a f en 0, eso es, dada otra ecuación lineal q : R → R existe un entorno de 0, el cual notamos I0 , donde para todo x ∈ I0 se tiene que |f (x) − r(x)| ≤ |f (x) − q(x)|. Probar que además la igualdad se da solo en 0.

Esta es la letra del ejercicio. Ya probé la primera tesis, pero la segunda me confunde. f(0)-r(0) siempre es 0 (sino no sería recta tangente), pero que |f (x) − r(x)| = |f (x) − q(x)| si x = 0 implica que f(x) - q(x) = 0, es decir, implica que q también es recta tangente. O me equivoco?

En respuesta a Joaquín Gonzalez Garisto

Re: 6.2 ej 11

de Marcos Barrios -

Buenas

La idea es que en 0 no podes garantizar la desigualdad estricta, pues cualquier otra recta que pase por (0,f(0)) cumplirá que \vert f(0) - q(0) \vert=0. La idea es garantizar que cualquier otra recta es esta mas lejos de f que la recta tangente en un entorno reducido de 0, pero esto no se puede garantizar para 0.

En resumen, todas las rectas que pasan por el punto (0,f(0)) tienen la misma distancia a f en el punto 0 (que es 0) pero, para cualquier recta distinta de la recta tangente, se cumple que existe un entorno reducido de 0 donde \vert f(x) - r(0) \vert < \vert f(x) - q(x) \vert para todo x \in E^{*}(0,\delta_{q}). Esto ultimo es lo que deberías probar

Cualquier duda vuelve a escribir

Saludos