Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Lo primero es observar que efectivamente tienes una indeterminación, por que podría ser que el limite sencillo y no tuvieras que hacer nada.

Luego tienes que observar la sugerencia que te dan. $\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{e^{u}-1}{u} = 1$ de donde se deduce que $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{e^{x-2}-1}{x-2} = 1$.

Para el limite que te plantean puedes multiplicar y dividir por u-2 de donde

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{(x-1)(e^{x-2})}{2x^2-6x+4} \times \frac{x-2}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-1)(x-2)}{2x^2-6x+4} \times \frac{e^{x-2}-1}{x-2}$

Por lo que si el limite de cada factor existe, es decir $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{(x-1)(x-2)}{2x^2-6x+4}$ y $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{e^{x-2}-1}{x-2}$

y son finitos entonces el limite del producto existe y es el producto de los limites.

Esta es una justificación para la igualdad que se muestra

Cualquier duda vuelve a escribir

Saludos