Foro Práctico III

Buen día Nicolás,

disculpa, pero no logro entender el razonamiento que hacés con los cambios de signo y cómo lo relacionás con la conservación.
Paso a corregirte un par de errores en el párrafo anterior y luego intentaré explicarlo de otra manera a ver si aclara las cosas.

Supongamos un sistema conservativo (que es el ejemplo que usaste), descrito por la siguiente ecuación de movimiento: $\ddot{x}+f(x)=0$ (hallada por Newton).

En primer lugar, creo que estás confundiendo la función $f(x)$ con la fuerza. No es exactamente la fuerza, de hecho, observá que no tiene las dimensiones correspondientes a dicha cantidad. 

En segundo lugar, hay un error cuando decís "hago la derivada segunda de $f$ y evaluo los puntos de equilibrio en la derivada segunda". Si vas a trabajar con $f(x)$ solo la derivás una vez para evaluar estabilidad. Aclaro esto porque tal vez aquí está ese cambio de signo que mencionás.

Ahora, pasemos a evaluar el mismo sistema a nivel energético. La ecuación de la energía tendrá una forma de este tipo:
$E = \frac{m \dot{x}^2}{2} + U(x)$
Derivando respecto al tiempo, obtenemos: $m\dot{x}\ddot{x}+\frac{dU}{dx} \dot{x}=0$,
esto es, $\ddot{x}+\frac{1}{m} \frac{dU}{dx} = 0$ y, por tanto, en este caso, $f(x) =\frac{1}{m} \frac{dU}{dx}$.
Allí podés observar que $f(x)$ conserva el signo de $\frac{dU}{dx}$, entonces podés evaluar la estabilidad con la misma regla, derivando $f(x)$ una vez respecto a $x$.

Espero haber respondido tu pregunta y se llegue a entender. Si no es así, lo mejor será que te acerques a una de las clases de consulta disponibles para discutirlo con más profundidad y que puedas evacuar todas tus dudas de forma más fluida.

Saludos.