Hola Romano.
Una cosa es escalerizar la matriz 
y luego calcular el determinante de su forma escalerizada, otra muy distinta es escalerizar la matriz A (llamemos E a la forma escalerizada de A) y luego hacer 
.
Tu mismo has dicho que los valores propios de A, o sea las raíces de \( det(A-\lambda I )\ que están en el cuerpo no coinciden con los valores propios de E-\lambda I.
Haz el intento de escalerizar y veras que precisamente por los 
que restas en la diagonal es que no puedes lograr ceros.
Saludos
J.