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Hola, hay varios errores conceptuales en tu resolución de la parte b).

Lo que pregunta el ejercicio en la parte b) es la velocidad que tiene la masa justo cuando entra en contacto con el resorte. Tu resolución parece intentar contestar algo diferente. Pero incluso dentro de lo planteaste pude notar varios errores. Paso a enumerarlos en orden:

$(i)$ En el momento "final" del movimiento, es decir, en el punto de máxima compresión del resorte, la caja perdió toda su velocidad, y por lo tanto está en reposo en ese instante. De modo que si estás comparando los instantes inicial (caja a altura $H$ por encima del resorte) y el instante final (compresión máxima del resorte), tendrías que decir que $v_i = 0$ y $v_f = 0$ (ambas).

$(ii)$ No es correcto usar las ecuaciones de M.R.U.A (por ejemplo $v_f^2 = v_i^2 +2gL$) entre los instantes inicial (caja a altura $H$ por encima del resorte) y el instante final (compresión máxima del resorte), porque NO hay aceleración constante. Como hay una fuerza del resorte, que es variable, la aceleración también es variable y es distinta de $g$.

$(iii)$ Respecto a "Ahora sabiendo L para responder la parte (c) solo me falta conocer la longitud del resorte cuando está comprimido":

Lo único que importa y que afecta en este ejercicio es la compresión del resorte, que es directamente $\Delta l$. No importa si el largo original del resorte son 50cm, 1m o 283m, lo único que afecta es cuánto se comprimió, porque recordá que la fuerza del resorte es proporcional a su compresión, independientemente del largo original del resorte.

Habiendo resaltado esos puntos, te comento como es el razonamiento para que puedas resolver las partes b) y c) del ejercicio:

$b)$ Para empezar esta parte lo primero que hay que recordar es que en la parte a) calculaste el trabajo realizado por el peso y el realizado por el resorte $\textbf{entre los instantes en que la caja entra en contacto con el resorte, y el instante en que el resorte llega a la compresión maxima (caja en reposo)}$. Remarco eso porque es importante entender cual es el tramo del movimiento que está siendo tenido en cuenta.

Para encontrar la velocidad de la caja cuando justo entró en contacto con el resorte y poder relacionarla con la compresión $\Delta l$, tendremos que considerar también ese tramo del movimiento. La idea entonces es aplicar el teorema de trabajo-energía en ese tramo, en vez de en el tramo "completo" del movimiento. Te dejo ese pique para que lo intentes resolver por tu cuenta y cualquier cosa siempre podés volver a preguntar.

$c)$ La idea es hallar la altura $H$ . En b) se halla una expresión para $v_0$ en función de $k, \Delta l, m, g$. Debemos relacionarla de alguna manera con $H$ para poder despejar. Para ello, el pique es darse cuenta que el primer tramo del movimiento, es decir, antes de entrar en contacto con el resorte, la caja realiza un M.R.U.A con aceleración $-g$, es decir, un movimiento de caída libre durante una distancia $H$. Teniendo eso en cuenta, es posible usar las ecuaciones de cinemática para relacionar  $H$ y $v_0$.... lo dejo para que lo intentes.

Espero que te sirva para aclarar las dudas. Por cualquier cosa quedo a las órdenes. 

Saludos !