Lo que hice yo, qué no sé si es correcto, pero razoné lo siguiente para la parte a) :
Tomé todos los casos, es decir 9!, a estos casos le resto los casos en el que un dígito está en su posición original, por lo tanto tenemos C(9,1)*8!, esto es, de los 9 dígitos, elegimos el que estará en su posición original y de ese caso, nos queda ordenar los otros 8 dígitos. El problema es que acá también estamos quitando los casos en el qué dos dígitos están en su misma posición 2 veces, por lo que estamos quitando casos de más; Es decir, el caso en el que elegimos que x_i en su posición original y ordenamos los otros 8! dígitos, por lo que x_j (j distinto de i) estará en su posición original en uno de esos 8! ordenamientos, luego, cuando elegimos que x_j esté en su posición original, en uno de los 8! ordenamientos de los dígitos restantes, x_i estará en su posición original. Por ese razonamiento es que estamos restando el mismo caso dos veces al hacer 9!-C(9,1)*8!, por lo que a éste resultado le tenemos que sumar los casos que restamos de más, es decir, los casos en los que 2 dígitos están en su posicionamiento original, por lo que la cuenta queda 9!-c.
Siguiendo el mismo razonamiento llego a que el resultado es 9!-C(9,1)*8!+C(9,2)*7!-...-C(9,9)*0! que es igual a la suma desde k=0 hasta k=9 de (-1)^k*C(9,k)*(9-k). La parte b) la razoné igual. La parte c) es usando el resultado de la parte b) y restar los casos en los que los primeros dígitos no son 1,2,3 o 4.
Tomé todos los casos, es decir 9!, a estos casos le resto los casos en el que un dígito está en su posición original, por lo tanto tenemos C(9,1)*8!, esto es, de los 9 dígitos, elegimos el que estará en su posición original y de ese caso, nos queda ordenar los otros 8 dígitos. El problema es que acá también estamos quitando los casos en el qué dos dígitos están en su misma posición 2 veces, por lo que estamos quitando casos de más; Es decir, el caso en el que elegimos que x_i en su posición original y ordenamos los otros 8! dígitos, por lo que x_j (j distinto de i) estará en su posición original en uno de esos 8! ordenamientos, luego, cuando elegimos que x_j esté en su posición original, en uno de los 8! ordenamientos de los dígitos restantes, x_i estará en su posición original. Por ese razonamiento es que estamos restando el mismo caso dos veces al hacer 9!-C(9,1)*8!, por lo que a éste resultado le tenemos que sumar los casos que restamos de más, es decir, los casos en los que 2 dígitos están en su posicionamiento original, por lo que la cuenta queda 9!-c.
Siguiendo el mismo razonamiento llego a que el resultado es 9!-C(9,1)*8!+C(9,2)*7!-...-C(9,9)*0! que es igual a la suma desde k=0 hasta k=9 de (-1)^k*C(9,k)*(9-k). La parte b) la razoné igual. La parte c) es usando el resultado de la parte b) y restar los casos en los que los primeros dígitos no son 1,2,3 o 4.