Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 2: Número real

Buenas

Voy a comentar la parte del supremo, la de infimo es análoga

En este ejercicio no hay mucho por donde arrancar mas alla de la definición de supremo ya que no hay ninguna informacion relativa a las funciones. Aunque si podriamos empezar viendo algun ejemplo para entender, al menos en casos básicos, cuales son los conjuntos (además de que te dara un ejemplo para la segunda parte)

Ejemplo

$f(x) = 3 - x^{2}$, $g(x) = 2x - 3$, $a = -1, b = 2$.

En este caso $\sup\{f(x) : x \in [-1,2]\} = 3$ y $\sup\{g(x) : x \in [-1,2]\} = 1$

En este caso la función $h(x) = f(x) + g(x) = -x^2 +2x$ verifica que $\sup\{h(x) : x \in [-1,2]\} = 1$. Puedes observar que en este caso la igualdad que se plantea en el ejercicio es esctircta.

Abajo hay un bosquejo donde se muestra este ejemplo

Vamos ahora con la propiedad que se pide probar

Notemos $\alpha = \sup\{f(x): x \in [a,b]\}$ y $\beta = \sup\{g(x) : x \in [a,b]\}$ (parte de las hipótesis del ejercicio es que los conjuntos en cuestion estan acotados).

Por definicion de supremo $f(x) \leq \alpha$ y $g(x) \leq \beta$ para todo $x \in [a,b]$. Luego $f(x) + g(x) \leq \alpha + \beta$ para todo $x \in [a,b]$.

¿Se te ocurre como concluir desde este lugar? Si no es así, vuelve a escribir en el foro

Saludos