CDIV-1S: 2.1-5.c

Hola,

El ejercicio te pide bosquejar el conjunto $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : \text{max}\{|x|,|y|\} = 1\}$ . Dado un punto $(x,y)$ , $\text{max}\{|x|,|y|\}$ es la coordenada que tiene mayor absoluto entre $x$ e $y$ . Por lo tanto, para que $\text{max}\{|x|,|y|\} = 1$ , tiene que pasar que alguna de las dos coordenadas sea igual a $1$ , y que la otra tenga valor absoluto menor o igual a $1$ . Es decir, tiene que pasar que $|x| = 1$ e $|y|\leq 1$ , o que $|y|=1$ y $|x|\leq 1$ . En el primer caso, para que $|x|=1$ , tiene que ser $x=1$ o $x=-1$ , y como también tiene que ocurrir que $|y|\leq 1$ , tiene que ser $y\in [-1,1]$ . Eso te da dos segmentos de recta verticales que bosquejar: $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x= 1, -1\leq y \leq 1\}$ y $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x=-1, -1\leq y\leq 1\}$ . De forma análoga, el otro caso te va a dar dos segmentos de recta horizontales, donde tiene que ser $y=1$ o $y=-1$ , y $-1\leq x \leq 1$ .

Saludos!

Re: 2.1-5.c

de Carlos Daniel Almeida Zapata - jueves, 28 de marzo de 2024, 18:07

hola, porque una coordenada tiene que ser igual a 1 y la otra menor o igual

Re: 2.1-5.c

de Marcos Barrios - viernes, 29 de marzo de 2024, 12:17

Buenas

Primero un pequeño comentario, una de las coordenadas tiene que ser igual a 1 en valor absoluto (es decir puede ser 1 o -1) y la otra menor o igual a 1 en valor absoluto (es decir en $[-1,1]$ )

Vamos a detallar un poco mas el ejercicio.

Primero $\max{\vert x \vert, \vert y \vert}$ es el máximo de los valores absolutos de las coordenadas

Por poner algunos ejemplos de $(x,y)$ ,

(2,5) verifica $\max{\vert 2\vert,\vert 5 \vert} = 5$
(-1,2) verifica $\max{\vert -1\vert,\vert 2 \vert} = 2$
(-3,1) verifica $\max{\vert -3\vert,\vert 1 \vert} = 3$
(1,-\frac{1}{2}) verifica $\max{\vert 1\vert,\vert -\frac{1}{2} \vert} = 1$

En cualquier caso observa que para que el $\max{a,b}$ sea $1$ al menos uno de los dos valores tiene que ser $1$ (y el otro menor o igual a 1).

Pero en cualquier es necesario que $\vert x \vert$ o $\vert y \vert$ sea $1$ .

Veamos ahora el bosquejo. Para simplificar un poco el problema estudiemos primero el primer cuadrante ( $x \geq 0, y \geq 0$ ) de esta forma no tendremos que considerar el valor absoluto.

En este contexto pensemos cuando $x < y$ , cuando $x =y$ y cuando $x > y$ (recordando que estamos en el primer cuadrante)

Realizando un bosquejo la recta $x = y$ divide el cuadrante en dos regiones "la superior" donde $y > x$ y la "inferior" donde $x < y$ .

En la región verde $\max{\vert x \vert , \vert y \vert} = y$ por tanto para que sea $1$ y tiene que ser igual a $1$ . Mientras que en la región azul $x$ debe ser $1$ .

Trazando la recta $x = 1$ e $y = 1$ tenemos que el bosquejo (en el primer cuadrante) son los segmentos rojos de la siguiente figura

El segmento horizontal corresponde a $y = 1, x \in [0,1]$ , mientras que el segmento vertical corresponde a $x = 1, y \in [0,1]$

Para obtener el resultado completo (como lo menciono Tabare) debes estudiar los otros cuadrantes

Cualquier duda vuelve a escribir

Saludos