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Hola,

eso que planteás no está bien porque la letra nos dice que la energía almacenada en el resorte es 2.4J, no la energía mecánica. Entonces lo que vale 2.4J es $\frac{1}{2}k(l-l_0)^2$ (revisá tu ecuación que la energía del resorte la escribiste mal). De ahí, lo que no conocés, sería $l$, el estiramiento del resorte, que te da la información del radio de la trayectoria. ¿Para qué queremos esto? La clave es que es un movimiento circular, y cuando tenemos este tipo de movimientos tenemos que pensar inmediatamente en las ecuaciones del movimiento circular, en particular, $F_c = \frac{mv^2}{R}$. Sabiendo el radio, y sabiendo el estiramiento del resorte, podemos encontrar $v$ y con esa $v$ hallar el periodo. 

Saludos