Estabilidad método de Heun

Estabilidad método de Heun

de Mateo Sebastian Gargano Alvarez Y Alvarez -
Número de respuestas: 4

Buenas, en las notas del curso se llega a que el método de Heun es condicionalmente absolutamente estable y que h < 2/|lambda| (llamaré a lambda L por comodidad a partir de ahora). Pero al hacerlo por mi cuenta llego a: |1 + hL*(2 + hL)| < 1 (expresión equivalente a la que se llega en el libro) lo cual infiere que para que eso se cumpla: -1 < |hL*(2 + hL)| < 0. En el caso |hL*(2 + hL)| < 0 llego a lo mismo que las notas, pero en el caso de -1 < |hL*(2 + hL)| me queda una solución en los complejos a la cual solo puedo dar la región de estabilidad: Re = {|1 + z + (z^2)/2| < 1} siendo z = hL y perteneciente a los complejos.
La consulta es, por qué podría afirmar que h < 2/|L|? Hay algún análisis con los números complejos que me estoy perdiendo o alguna propiedad que me permite afirmar eso?
Desde ya, muchas gracias

En respuesta a Mateo Sebastian Gargano Alvarez Y Alvarez

Re: Estabilidad método de Heun

de Juan Pablo Borthagaray -
Hola Mateo,

Creo que no llegaste a la misma expresión que a la que llegamos en las notas. Con tu notación, en las notas queda |1+hL*(1+hL/2)|<1 (es la fórmula que está abajo de (6.34)). Tampoco me queda claro cómo de ahí llegás a la expresión -1 < |hL*(2 + hL)| < 0.
En respuesta a Juan Pablo Borthagaray

Re: Estabilidad método de Heun

de Mateo Sebastian Gargano Alvarez Y Alvarez -
Perdón, tuve un error al escribir lo que me quedó en mi razonamiento, lo que me quedó fue: |1 + (hL/2)(2 + hL)| < 1. La razón por la cual luego llego a que -2 < (hL/2)(2 + hL) < 0 (cometí otro erro al poner -1 y no -2) es porque para que se cumpla una desigualdad de la forma |1 + x| < 1, se precisa que x sea negativo (porque sino 1 + x > 1) y que sea mayor a -2 (porque sino 1 + x < -1 => |1 + x| > 1). De igual forma, a pesar de los errores anteriores, al resolver la desigualdad -2 < (hL/2)(2 + hL) me sigue quedando una solución compleja. Le seguí dando vueltas al asunto y como justificación a que se cumple esta desigualdad es que haciendo cuentas -2 < (hL/2)(2 + hL) => (hL)^2 + 2hL + 4 > 0 y con un cambio de variabe x = hL queda resolver x^2 + 2x + 4 > 0. Con esto, puedo decir que geométricamente la funcion x^2 + 2x + 4 siempre es positiva para todo x en los reales. Esta sería una justificación valida?
En respuesta a Mateo Sebastian Gargano Alvarez Y Alvarez

Re: Estabilidad método de Heun

de Juan Pablo Borthagaray -
Bien, ahora creo que te estoy siguiendo mejor.

Tomamos como punto de partida que en el curso estamos trabajando con L \in \mathbb{R} en el problema test. Si no, la conclusión -2 < (hL/2)(2 + hL) < 0 no sería correcta. La desigualdad (hL/2)(2 + hL) < 0 implica, como bien decís, que h < 2/|L| (estoy asumiendo desde el arranque que h>0 y L < 0).

Hay que interpretar bien lo que significa que la otra desigualdad -2 < (hL/2)(2 + hL) no tenga soluciones reales. Lo que decís al final creo que va en la dirección correcta: la desigualdad se cumple para todos h,L (y en particular para h>0 y L < 0). Eso quiere decir que esta desigualdad no agrega ninguna restricción sobre las que ya teníamos.

[Como comentario al margen, si querés estudiar qué pasa con L \in \mathbb{C}, entonces tendrías que entender la desigualdad |1 + (hL/2)(2 + hL)| < 1 con módulo y ahí te quedaría una región en el plano complejo (podés encontrar un dibujo por ahí, en particular está al final de la sección 11.3 en el libro de Quarteroni-Sacco-Saleri). Esa región compleja es distinta que la que corresponde al método de Euler hacia adelante, pero su intersección con el eje real es igual; eso explica por qué en las notas del curso nos quedaron las mismas restricciones en el paso para Euler y para Heun.]