Desigualdad para norma l1

Desigualdad para norma l1

de Tadeo Martín Risotto Betarte -
Número de respuestas: 2

Buenas, 

Estoy repasando, y llegue a este ejercicio y no logro como probar la primer desigualdad, la que se prueba de forma "directa". Llego a una desigualdad en que tengo una sumatoria doble y no se como pasarlo a una sola. Se me ocurrio que la suma de los modulos de las entradas del vector son 1, entonces fijo alguna columna o fila y me queda ese termino multiplicado por todos los modulos, que entonces suman 1 y me desaparece una sumatoria, pero no lo estoy logrando Ejercicio 2.5.3

En respuesta a Tadeo Martín Risotto Betarte

Re: Desigualdad para norma l1

de Juan Pablo Borthagaray -
Hola Tadeo,

Te resumo los pasos de cómo lo demostraría. Es difícil escribir fórmulas con mucho detalle por acá, pero cualquier cosa podés preguntar en alguna clase de consulta. El punto de partida es un vector x \in \mathbb{R}^n con \|x\|_1 = \sum_{j=1}^n |x_j| = 1. Tenés que probar que \| Ax \|_1 = \sum_{i=1}^m |(Ax)_i| \le \max_{j = 1, \ldots , n} \sum_{i=1}^m |a_{ij}|.

Van los pasos en forma esquemática:
Escribí qué es (Ax)_i explícitamente, y usá que el valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos.
Intercambiá el orden de la sumatoria: que te quede primero en j = 1, \ldots , n y después en i = 1 , \ldots, m. Fijate que los términos con las x_j salen de la suma en i.
Observá que para cada j fijo, \sum_{i=1}^m |a_{ij}| \le \max_{j = 1, \ldots , n} \sum_{i=1}^m |a_{ij}|. Sacá ese término de factor común y usá que \sum_{j=1}^n |x_j| = 1.