Foro de consultas generales

Hola Valentina,

Te puedo decir cómo la razono yo. Por ahí ayuda en algo. Toda la notación que uso es igual que en las notas.

Lo primero a tener en cuenta es lo que queremos demostrar: una fórmula de representación del error. Esa fórmula dice que, dado $x$, el error de interpolación se puede reescribir (exactamente) en términos de la derivada $(n+1)$-ésima en algún punto (también aparece el factorial y el polinomio nodal evaluado en $x$, pero concentrémonos en la derivada). No es casualidad que el polinomio tenga grado $n$ y que en el error aparezca la derivada de orden $n+1$: en algún sentido, esto quiere decir que el polinomio puede "capturar" información de las primeras $n$ derivadas de $f$. Además, la derivada $(n+1)$-ésima de $p_n$ es constante $0$.

La función $G$ toma el error en un punto genérico $t$ y lo corrige con una constante ($x$ está fijo) por un cierto polinomio de grado $n+1$ (el polinomio $\omega_n(t)$). Fijate que en la constante aparece el término que $e_n(x)$, que es el que querés representar de otra forma. El truco está en que si tomás la derivada $(n+1)$-ésima de $G$ te queda la del error (que no es otra cosa que la derivada $(n+1)$-ésima de $f$) menos la constante por la derivada $(n+1)$-ésima de $\omega_n(t)$ (que es una constante). Entonces, si encontrás un punto en el que la derivada $(n+1)$-ésima de $G$ se anula, vas a haber encontrado una forma nueva de escribir $e_n(x)$.

Lo interesante está en cómo tomar el factor de corrección (constante*polinomio de grado $n+1$). Por ahora, lo único que sabemos es que queremos que la constante tenga $e_n(x)$ en algún lado. Como nuestro objetivo es lograr que en algún lugar la derivada $(n+1)$-ésima de $G$ se anule, hay que buscar en la caja de herramientas algún resultado que nos permita asegurar que la derivada de una función se anula en algún punto. Ahí aparece el Teorema de Rolle.

Como vamos a tener que irnos hasta la derivada de orden $n+1$, vamos a tener que aplicar Rolle $n+1$ veces. Por cada vez que aplicás Rolle perdés un cero, por lo que la demostración va a andar si lográs construir una $G$ como arriba y que tenga al menos $n+2$ raíces. Esta condición es la que permite elegir el factor de corrección. Como uno sabe que el error de interpolación se anula en los $n+1$ puntos por los que interpolamos, ahí ya nos queda determinado que el polinomio de grado $n+1$ tiene que tener raíces en $x_0, x_1, \ldots, x_n$: tiene que ser el polinomio nodal $\omega_n(t)$ (a menos de una constante multiplicativa). Falta elegir la constante que lo multiplica, y para eso tenemos que lograr inventarnos otra raíz de $G$. El candidato natural es el punto $x$, y el factor $e_n(x)/\omega_n(x)$ se elige simplemente para poder asegurar que $G(x) = 0$.

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Creo que está bueno contrastar esto con la demostración del Teorema 3.4.2 (para la interpolación cúbica de Hermite). La filosofía es la misma, pero como cambia la interpolación, hay que hacer algún ajuste en cómo se elige el factor de corrección en la $G$. Lo que se hace en esa demostración es explotar que el error de interpolación tiene raíces dobles en $a$ y $b$. Eso hace que si bien probás que $G$ tiene 3 raíces en $[a,b]$ y por lo tanto Rolle te permite asegurar que $G'$ tiene al menos dos puntos con derivada nula en $(a,b)$, ahora puedas "agregar" que $G'(a) = G'(b) = 0$ y con eso ganar un poco más de aire para avanzar hasta derivadas de orden más alto.