No llego al resultado deseado.
Hay que tomar la MAS de X~geo(1/L) como Xn (como en la foto) o como BinNeg(400, 1/L)?
Tampoco llegó a utilizar la sugerencia del ejercicio, así que no lo estoy encarando bien.
Hola, lo que pasa es que $$X$$ no tiene distribución geométrica ya que la distribución geométrica cuenta la cantidad de veces que repetimos un experimento hasta obtener en éxito. Pero, en este caso la cantidad de llaves que hay en la caja va cambiando a medida que pasan los participantes entonces no repetimos el mismo experimento. Si, los participantes sacaran una llave y la volvieran a poner en la caja ahí si se trataría de una distribución geométrica.
Lo que podemos hacer es calcular la función de probabilidad puntual de $$X = $$ cantidad de participantes que pasan hasta obtener la llave ganadora.
El recorrido de $$X$$ es $$\left\{1,...,L\right\}$$ y tenemos:
$$p_X(1)= \frac{1}{L}$$ este seria el caso donde el primer participante elige la llave ganadora
$$p_X(2) = \frac{L-1}{L} \frac{1}{L-1}=\frac{1}{L}$$ para que el segundo participante consiga la llave ganadora tienen que ocurrir dos cosas: primero, el primer participante no puede haber obtenido la llave ganadora (de ahí el $$\frac{L-1}{L}$$) y segundo, entre las $$L-1$$ llaves que quedan el segundo participante elige la ganadora
$$p_X(3) = \frac{L-1}{L} \frac{L-2}{L-1} \frac{1}{L-2}=\frac{1}{L}$$
y así sucesivamente hasta $$p_X(L) = \frac{1}{L}$$.
Luego,
$$E(X) = \sum_{i=1}^L i p_X(i) = \sum_{i=1}^L i \frac{1}{L} = \frac{1}{L} \frac{L(L-1)}{2} = \frac{L+1}{2}$$
Entonces, por el método de los momentos igualamos $$\frac{L+1}{2} = 32$$ de donde $$L=63$$.
Lo que podemos hacer es calcular la función de probabilidad puntual de $$X = $$ cantidad de participantes que pasan hasta obtener la llave ganadora.
El recorrido de $$X$$ es $$\left\{1,...,L\right\}$$ y tenemos:
$$p_X(1)= \frac{1}{L}$$ este seria el caso donde el primer participante elige la llave ganadora
$$p_X(2) = \frac{L-1}{L} \frac{1}{L-1}=\frac{1}{L}$$ para que el segundo participante consiga la llave ganadora tienen que ocurrir dos cosas: primero, el primer participante no puede haber obtenido la llave ganadora (de ahí el $$\frac{L-1}{L}$$) y segundo, entre las $$L-1$$ llaves que quedan el segundo participante elige la ganadora
$$p_X(3) = \frac{L-1}{L} \frac{L-2}{L-1} \frac{1}{L-2}=\frac{1}{L}$$
y así sucesivamente hasta $$p_X(L) = \frac{1}{L}$$.
Luego,
$$E(X) = \sum_{i=1}^L i p_X(i) = \sum_{i=1}^L i \frac{1}{L} = \frac{1}{L} \frac{L(L-1)}{2} = \frac{L+1}{2}$$
Entonces, por el método de los momentos igualamos $$\frac{L+1}{2} = 32$$ de donde $$L=63$$.
Quedó clarísimo, muchas gracias Jaz!