Buenas, estaba haciendo el ejercicio 4 con un amigo, cuando intentamos calcular la esperanza de X cuadrado, llegamos a algo que no esta bien. No sabemos si nuestro error es teórico o de cálculo. Cualquier ayuda se agradece porque no sabemos como avanzar. Adjunto hasta lo que llegamos.
Hola, el problema está en la densidad que usan para calcular la esperanza de $$X^2$$. La función densidad de $$\alpha + Y$$ no es $$\alpha + \lambda e^{-\lambda x}$$. Lo que pasa es que como $$\alpha$$ es una constante si integramos $$\alpha + \lambda e^{-\lambda x}$$ entre $$-\infty$$ y $$+\infty$$ no va a ser igual a $$1$$. De hecho, $$X = \alpha +Y$$ no es una variable aleatoria absolutamente continua (ya que su función de distribución no es continua: tiene un salto en $$x=\alpha$$) por lo que no tiene una función de densidad.
Lo que pueden usar para calcular $$E(X^2)$$ es la varianza: como $$Var(X) = E(X^2) -E(X)^2$$, tenemos que $$E(X^2) = Var(X) + E(X)^2$$.
$$Var(X) = Var(\alpha +Y) = Var(Y) = \frac{1}{\lambda^2}$$ ya que $$\alpha$$ es una constante
Luego, $$E(X^2) = Var(X) + E(X)^2 = \frac{1}{\lambda^2} +(\alpha +\frac{1}{\lambda})^2$$
Lo que pueden usar para calcular $$E(X^2)$$ es la varianza: como $$Var(X) = E(X^2) -E(X)^2$$, tenemos que $$E(X^2) = Var(X) + E(X)^2$$.
$$Var(X) = Var(\alpha +Y) = Var(Y) = \frac{1}{\lambda^2}$$ ya que $$\alpha$$ es una constante
Luego, $$E(X^2) = Var(X) + E(X)^2 = \frac{1}{\lambda^2} +(\alpha +\frac{1}{\lambda})^2$$
Gracias! ya lo pudimos resolver