Hola, sumiendo que es correcto todo lo que decís en el primer párrafo (no lo corroboré) y que el conjunto que decís es una base, entonces debe haber una única transformación lineal que manda a los vectores de la base en los vectores dados.
En cuanto a lo del núcleo, a ver si entendí: tomaste una combinación lineal de los transformados de los vectores de la base, y viste que para que de cero, todos los coeficientes deben ser cero. En otra palabras, observaste que los transformados de los vectores de la base, forman un conjunto LI en $$\mathbb{R}^4$$. ¿correcto? Efectivamente esto implica que la transformación lineal es inyectiva, y por tanto el núcleo es solamente el $$0_{\mathbb{R}^3}$$. Todo lo que decís a continuación es correcto entonces.
En cuanto a lo del núcleo, a ver si entendí: tomaste una combinación lineal de los transformados de los vectores de la base, y viste que para que de cero, todos los coeficientes deben ser cero. En otra palabras, observaste que los transformados de los vectores de la base, forman un conjunto LI en $$\mathbb{R}^4$$. ¿correcto? Efectivamente esto implica que la transformación lineal es inyectiva, y por tanto el núcleo es solamente el $$0_{\mathbb{R}^3}$$. Todo lo que decís a continuación es correcto entonces.