Buenas, como no tenemos respuestas correctas y vi en otro hilo un ejercicio parecido quisiera preguntar que les parece este :
llegue a la conclusión de que existen infinitas transformaciones Lineales porque el vector V(4,1,4) es CL de los demás y también su respectivo W es CL de los demás digamos. Usando esa relación pude demostrar que T(v1+a*v2) = T(v1) + a*T(v2)
Pero el vector (3,-1,2) no es CL de los demás ni tampoco su transformación.
entonces tenemos 3 vectores LI en R3 lo que forma una base { (1,-1,3), (2,3,-2), (3,-1,2) }
¿ Esto implica que solo existe 1 transformación lineal cumple esa condición?
A su vez tratando de encontrar el núcleo de T agregando este nuevo vector (3,-1,2) obtengo que para anularlos 3 tengo que si o si multiplicarlos por cero a todos. (0,0,0,0) = 0*w1 + 0*w2 + 0*w3
¿Entonces la dimension del núcleo es 0? ya que no existe ningún vector que sea generador del núcleo.
Y los generadores de la imagen de T son esos 3 vectores W LI por lo que La imagen tiene dimension 3, todo concuerda.
Buscaba una inconsistencia en las dimensiones de R3 = dim(N(T)) + dim(Im(T)) Y no encontré ninguna.
Asi que ¿ la respuesta correcta seria la C ?
En respuesta a Juan Pablo Ponce Diaz
Re: 2do Parcial 2019 2S Ejercicio 4
Hola, sumiendo que es correcto todo lo que decís en el primer párrafo (no lo corroboré) y que el conjunto que decís es una base, entonces debe haber una única transformación lineal que manda a los vectores de la base en los vectores dados.
En cuanto a lo del núcleo, a ver si entendí: tomaste una combinación lineal de los transformados de los vectores de la base, y viste que para que de cero, todos los coeficientes deben ser cero. En otra palabras, observaste que los transformados de los vectores de la base, forman un conjunto LI en $$\mathbb{R}^4$$. ¿correcto? Efectivamente esto implica que la transformación lineal es inyectiva, y por tanto el núcleo es solamente el $$0_{\mathbb{R}^3}$$. Todo lo que decís a continuación es correcto entonces.
En cuanto a lo del núcleo, a ver si entendí: tomaste una combinación lineal de los transformados de los vectores de la base, y viste que para que de cero, todos los coeficientes deben ser cero. En otra palabras, observaste que los transformados de los vectores de la base, forman un conjunto LI en $$\mathbb{R}^4$$. ¿correcto? Efectivamente esto implica que la transformación lineal es inyectiva, y por tanto el núcleo es solamente el $$0_{\mathbb{R}^3}$$. Todo lo que decís a continuación es correcto entonces.