Hola, efectivamente.
En el ejemplo que estás mostrando, la función T no es lineal porque no se cumple una de las condiciones de la linealidad, como bien mostrabas.
Si se cumpliera esa condición para ese conjunto $$A'$$ que definiste, tendrías infinitas transformaciones lineales $$T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2$$ que satisfagan las primeras dos igualdades. Lo que te faltaría es completar $$A'$$ a una base agregando un tercer vector, y decir a qué elemento de $$\mathbb{R}^2$$ lo mandás. Y para eso tenés infinitas posibilidades.
Espero haberme explicado.
Saludos!