Duda sobre T.L.

Duda sobre T.L.

de Alexis Sokorov Vargas -
Número de respuestas: 1

Buenas, tengo un par de dudas respecto a lo siguiente.

Si, por ejemplo, tengo una función $$T:  \mathbb{R} ^3 \rightarrow \mathbb{R} ^2 $$ tal que:

$$T(1,1,0)=(1,0)$$

$$T(0,-1,2)=(0,0)$$

$$T(1,0,2)=(0,2)$$

Sé por el Teorema de Existencia y Unicidad de que si $$A$$ (conjunto formado por elementos del dominio) es base entonces EXISTE una ÚNICA T.L. que verifica las condiciones dadas, pero en este caso $$A$$ no es L.I. (en particular, no es base de $$\mathbb{R} ^3 $$ ) , ya que $$(1,0,2)=(1,1,0)+(0,-1,2)$$ 

Me tomo $$A'=  \begin{Bmatrix}(1,1,0) & (0,-1,2)\end{Bmatrix} $$ es L.I. 

Luego, para que exista T lineal tiene que respetar las relaciones entre los vectores de $$A$$ pero pasa lo siguiente:

$$T(1,0,2)=T((1,1,0)+(0,-1,2)) \neq T(1,1,0)+T(0,-1,2) = (1,0) $$

Ahora mi duda es, ¿qué se podría decir si se verifica la última igualdad que puse? Es decir, se respetan las relaciones entre los transformados y los vectores, o sea, se verifica que $$T(1,0,2)=T((1,1,0)+(0,-1,2)) = T(1,1,0)+T(0,-1,2)$$ . ¿Estaríamos ante un caso donde existen infinitas T.L.? 
En respuesta a Alexis Sokorov Vargas

Re: Duda sobre T.L.

de Victoria Garcia Tejera -

Hola, efectivamente. 

En el ejemplo que estás mostrando, la función T no es lineal porque no se cumple una de las condiciones de la linealidad, como bien mostrabas.

Si se cumpliera esa condición para ese conjunto $$A'$$ que definiste, tendrías infinitas transformaciones lineales $$T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2$$ que satisfagan las primeras dos igualdades. Lo que te faltaría es completar $$A'$$ a una base agregando un tercer vector, y decir a qué elemento de $$\mathbb{R}^2$$ lo mandás. Y para eso tenés infinitas posibilidades. 


Espero haberme explicado. 


Saludos!