Problema 1 - Cuestionario 9 Ecuaciones no lineal II

Problema 1 - Cuestionario 9 Ecuaciones no lineal II

de Diego Ismael Marichal Chavez -
Número de respuestas: 8

Buenas, quería saber como se resuelve exactamente este ejercicio, lo que hice yo es calcular la derivada de f, quedándome 3(x-3)(x-1) y analizar si en 0 o 3 era distinto de 0, en el caso de la raíz 0 me da que es distinta de 0, por lo que puedo aplicar el teorema visto en el curso(Con otras hipótesis obviamente), lo que conlleva a poder concluir que el orden de convergencia de 0 es al menos cuadrático para la raíz 1, luego para la raíz 3 me da que la derivada se anula, por lo que calculo x_k+1, y llego a que es:

x_k+1 = x_k - [(x_k)(x_k)]/3(x_k - 1)

Y utilizando que el error es e_k = x_k - 3, llego a que e_k+1 = [2((e_k)^2) + 3(e_k)]/3(e_k + 2)

Y se que esto es menor o igual a [2((e_k)^2) + 3(e_k)], y como el orden de convergencia es por definición |e_k+1| = O(|e_k|^P), siendo P el orden de convergencia, y por lo que entiendo  es el termino con mayor exponente por lo que en el orden de convergencia para la raíz 3 seria cuadrático, pero segun la solucion estoy equivocado y queria saber donde me equivoque.

Saludos y muchas gracias

Diego

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Re: Problema 1 - Cuestionario 9 Ecuaciones no lineal II

de Diego Ismael Marichal Chavez -
Tuve un error al anotar: x_k+1 = x_k - [(x_k)(x_k - 3)]/3(x_k - 1), esto no cambia el resultado final, solo me habia equivocado al ponerlo en el mensaje
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Re: Problema 1 - Cuestionario 9 Ecuaciones no lineal II

de Juan Pablo Borthagaray -
Hola Diego,

La fórmula que escribiste en el último mensaje es correcta. A partir de ahí, podés escribir x_{k+1} -3 = \frac{2x_k^2 - 9x_k +9}{3(x_k -1)}. Si factorizas el polinomio en el numerador, te queda (x_k-3)(2x_k-3), y ahí ya te queda que la convergencia es de primer orden.

Si lo pensás a partir del primer mensaje que escribiste, si te queda e_{k+1} = 2(e_k)^2 + 3e_k, eso también implica que la convergencia es de primer orden.

Por último, lo que está pasando en x=3 es análogo a lo que se menciona en el punto2 de la Observación 4.5.3 de las notas (con \gamma = 2), por lo que incluso no era necesario hacer las cuentas explícitamente para responder la pregunta.
En respuesta a Juan Pablo Borthagaray

Re: Problema 1 - Cuestionario 9 Ecuaciones no lineal II

de Diego Ismael Marichal Chavez -
Buenas, no me queda del todo claro porque e_{k+1} = 2{{(e_{k})}^2} + 3{e_{k}} implica que la convergencia es de primer orden, ¿Acaso para el orden no se toma el mayor exponente de e_{k}?
Y mirando la Observación 4.5.3 y el punto 2, para x = 3, en ese caso de la observación dice que f(x) cuya unica raiz es x = 3, pero en nuestro caso tenemos tambien la raiz x = 0, ¿se puede seguir afirmando lo que dice ese punto?
Saludos y muchas gracias

Diego
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Re: Problema 1 - Cuestionario 9 Ecuaciones no lineal II

de Juan Pablo Borthagaray -
Hola Diego,

Los e_k están tendiendo a 0, no? ¿Cuál es el termino que domina en e_{k+1} = 2 e_k^2 + 3e_k?

Lo de la Observación 4.5.3 es simplemente para evitarte hacer las cuentas, pero en caso de duda está bien que las hagas. Lo que te decía en el mensaje anterior es que si x está cerca de 3, entonces hacer x(x-3)^2 no es muy distinto que hacer 3(x-3)^2 (en caso de duda, pongo un párrafo abajo), y por lo tanto el comportamiento que vas a ver es el mismo que el que verías para al aproximar la raíz x^* = 0 de la función x^2 (con las salvedades del 3 multiplicando y de que el problema te queda trasladado, pero ninguna de las dos cambia el orden).

Sobre aproximar x(x-3)^2 \approx 3(x-3)^2: basta con escribir x(x-3)^2 = 3 (x-3)^2 + (x-3) (x-3)^2 para observar que la diferencia entre los dos términos es un infinitésimo respecto a cualquiera de los dos.
En respuesta a Juan Pablo Borthagaray

Re: Problema 1 - Cuestionario 9 Ecuaciones no lineal II

de Diego Ismael Marichal Chavez -
Buenas, segun tengo entendido el termino que domina es 2e_{k}^2, por eso digo que el orden debería de ser cuadrático y no lineal, pero capaz que entiendo mal el comportamiento del error al tender a cero, ¿Acaso se considera el termino que sera mayor para un numero cercano a 0? COn esto me refiero a que 2e_{k}^2 < 3e_{k} cuando e_{k} < 1 
Saludos
Diego
En respuesta a Diego Ismael Marichal Chavez

Re: Problema 1 - Cuestionario 9 Ecuaciones no lineal II

de Juan Pablo Borthagaray -
No, domina el término lineal. 

Primero, vamos con la definición de orden. ¿Cuánto es el valor de p que hace que \frac{|2e_k^2 + 3 e_k|}{|e_k|^p} tenga límite con k \to \infty y ese límite sea un número distinto de 0?

Las definiciones tienen sentido cuando te dicen algo sobre lo que está pasando; si no te dicen nada, no son definiciones útiles. Con esto voy a lo siguiente: la definición de orden nos dice qué tan rápido/lento una sucesión alcanza un cierto límite. La definición te dice que la convergencia es con primer orden (p=1 en la pregunta de arriba), y eso quiere decir que domina el término lineal. Dicho de otra forma, si agarrás un número positivo y chiquito \epsilon y hacés 2\epsilon^2 + 3 \epsilon, el resultado se va a parecer mucho más a 3 \epsilon que a 2\epsilon^2. Ahí domina el término lineal.

En cambio, si tomaras un número positivo y grande E, entonces E^2 + 3 E se parece mucho más a E^2 que a 3E. Esto quiere decir que el término que domina es el cuadrático. De hecho, la forma en la que lo probás es la misma: probar que solamente poniendo p=2 se tiene que \lim_{E \to + \infty} \frac{|2E^2 + 3 E|}{|E|^p} sea un número distinto de 0.