MetNum-2S: Cuestionario 10, pregunta 1, opción c

Buen día.

En este último cuestionario vi que está marcada como correcta la opción "En general, un Método Iterativo General (MIG) convergente lo hace con el mismo orden que el de bisección."

Hemos visto en el curso dos métodos iterativos (secante y Newton-Raphson) que llegan a alcanzar mayores órdenes de convergencia que el de bisección (que es meramente lineal). Aún más, hemos visto resultados por los cuales cuando la función iterador de un MIG anula adecuadamente sus derivadas puede alcanzar órdenes de convergencia altos.

Salvo que haya alguna interpretación de la afirmación que se me esté escapando, no veo forma de que sea correcta, pero en caso de que así sea agradezco la aclaración.

Saludos.

Re: Cuestionario 10, pregunta 1, opción c

de Juan Pablo Borthagaray - miércoles, 25 de octubre de 2023, 14:09

Hola Juan Manuel,

Creo que el problema está en la interpretación / ambigüedad en la letra, en el uso de la expresión "en general". Cuando escribí la pregunta, pensé en la expresión como "genéricamente": un método iterativo genérico converge con primer orden cuando lo hace. Muchas veces uno puede hacer las cosas mejor y alcanzar convergencia con segundo o incluso mayor orden (si logra que varias derivadas de

$g$ se anulen en

$x^*$ ). De hecho, la otra opción correcta, que era "Hay MIGs que convergen con mayor orden que bisección" iba a eso, que es también la dirección de lo que planteás en la pregunta.

Entiendo que se pueda interpretar el "en general" como "todo", que creo que es tu interpretación, y en ese caso la opción no sería correcta. Bajo ese entendido, voy a recalificar la pregunta para que la opción dé puntos a quien la haya marcado pero no penalice a quien no la marcó. Lo que sí es que hacerlo en el EVA no es tan fácil como uno quisiera, y lo voy a hacer dentro de un par de días (paciencia!).

Un comentario que no hace a la respuesta a tu pregunta: el método de la secante no entra entre los MIGs, al menos no con la definición que vimos en clase. Los MIGs hacen iteraciones del tipo

$x^{k+1} = g(x^k)$ , mientras que el paso de la secante se hace mirando los dos iterados anteriores. Newton sí entra en la familia de MIGs que vimos y, como bien decís, uno puede esperar que converja con segundo orden bajo hipótesis adecuadas.