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Hola! La forma en que planteaste el ejercicio está correcta (X e Y son uniformes independientes). El problema está en los intervalos donde definiste las funciones densidad. Al decir que $$f_X(x) = \frac{1}{60}$$ si $$x$$ está entre 7:00 y 8:00 estás viendo el intervalo [7, 8] como el intervalo [0, 60] que seria como descomponer la hora en 60 minutos. Fijate que si definis la densidad de $$X$$ como $$f_X(x) = \frac{1}{60}$$ si $$0 \leq x \leq 1$$ y $$0$$ si no, al calcular la integral de $$f_X$$ sobre todos los reales no te daría $$1$$ (y por lo tanto no es una densidad). En cambio si definis la densidad de $$X$$ como $$f_X(x) = \frac{1}{60}$$ si $$0 \leq x \leq 60$$ y $$0$$ si no, ahí si la función integra 1 sobre todos los reales.
Luego como $$X$$ e $$Y$$ son ambas uniformes en el intervalo [0, 60] e independientes, la densidad conjunta queda $$f_{XY} = \frac{1}{3600}$$ si $$0 \leq x,y \leq 60$$ y $$0$$ si no.
Entonces la probabilidad buscada corresponde a integrar la función de densidad conjunta en la región sombreada que marcaste:
$$P(X < Y) = \int_{0}^{60} \int_0^x \frac{1}{3600} dy dx$$
Fijate que lo único que cambia con respecto a la integral que planteaste es que la integral es de 0 a 60 en lugar de de 0 a 1.