1er Parcial 2do Semestre 2021 - Ejercicio 9

1er Parcial 2do Semestre 2021 - Ejercicio 9

de Luca Scaboni Morales -
Número de respuestas: 4

Buenas! Que tal? Estoy intentando resolver el ejercicio 9 que menciono en el titulo de la consulta, dejo a continuación la letra del mismo y lo que yo hice así como la solución que esta subida del ejercicio con la cual no me guié mucho ya que sinceramente no la entendí bien. No entiendo en que le estoy errando para llegar a mi solucion en lugar de la solucion correcta y como dije, la solucion subida no me fue de mucha ayuda. Un saludo :)

Letra:



Mi planteo:



Solución:


En respuesta a Luca Scaboni Morales

Re: 1er Parcial 2do Semestre 2021 - Ejercicio 9

de Jazmin Finot -
Hola! El tema de cambio de variable que aparece en la solución es algo que no vimos en el curso. La forma que planteaste el ejercicio está muy bien, el único problema son los límites de integración que tomaste al calcular la función de distribución de $$Y$$.

$$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^3 \leq y) = P(X \leq y^{\frac{1}{3}})$$ ya que la función $$g(x)=x^3$$ es creciente.

Entonces si $$y \in [-8, 8]$$ tenemos:

$$P(X \leq y^{\frac{1}{3}}) = \int_{-\infty}^{y^{\frac{1}{3}}} f_X(t) dt = \int_{-2}^{y^{\frac{1}{3}}} \frac{1}{4} dt = \frac{1}{4} y^{\frac{1}{3}}+2$$

Luego, $$f_Y (y) = F_Y'(y) = \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{-\frac{2}{3}}$$ y $$f_Y (1)=\frac{1}{12}$$
En respuesta a Jazmin Finot

Re: 1er Parcial 2do Semestre 2021 - Ejercicio 9

de Luca Scaboni Morales -
Perdón que moleste, pero te animarías a explicarme bien por qué se toma como límite de integración inferior el -2 y no -8? Capaz es sencillo de entender pero me marea un poco como pensarlo... muchas gracias de todos modos por la respuesta anterior :)
En respuesta a Luca Scaboni Morales

Re: 1er Parcial 2do Semestre 2021 - Ejercicio 9

de Jazmin Finot -
Lo que pasa es que la probabilidad $$P(X \leq y^\frac{1}{3})$$ se calcula usando la función de densidad de la variable $$X$$ y esta variable toma valores en el intervalo $$[-2, 2]$$. Como bien escribiste vos, la función de densidad $$f_X(x)$$ vale $$1/4$$ si $$-2 \leq x \leq 2$$ y $$0$$ si no.

Entonces, para calcular la probabilidad $$P(X \leq y^\frac{1}{3})$$ integramos $$f_X$$ en el intervalo $$(-\infty, y^\frac{1}{3}]$$ lo que nos da:
$$P(X \leq y^\frac{1}{3}) = \int_{-\infty}^{y^\frac{1}{3}} f_X(t) dt = \int_{-\infty}^{-2} f_X(t) dt + \int_{-2}^{y^\frac{1}{3}} f_X(t) dt = \int_{-\infty}^{-2} 0 dt + \int_{-2}^{y^\frac{1}{3}} \frac{1}{4} dt$$

En la integral $$\int_{-\infty}^{-2} f_X(t) dt$$ reemplazamos $$f_X(t)$$ por $$0$$ porque en el intervalo $$(-\infty, -2]$$ tenemos que $$f_X(t)=0$$ y en la integral $$\int_{-2}^{y^\frac{1}{3}} f_X(t) dt$$ reemplazamos $$f_X(t)$$ por $$\frac{1}{4}$$ porque en el intervalo $$[-2, y^\frac{1}{3}]$$ tenemos que $$f_X(t)=\frac{1}{4}$$ (ya que $$y^\frac{1}{3} \leq 2$$)

Espero que quede más claro :)