EcDif-2S: se puede usar la derivada parcial para ver si es localmente Lip.?

en vez de usar la definición? tengo problemas para usar la definición pero derivando me ha estado funcionando, pero no sé si se puede usar siempre para ver en algún punto de interés. Me refiero a hallar df/dx y evaluar

Re: se puede usar la derivada parcial para ver si es localmente Lip.?

de Nataly Melanie Ruber Maimo - domingo, 10 de septiembre de 2023, 22:07

Vi que sirve pero no funciona al revés, es decir si no me da la derivada eso no significa que no sea Lip. necesariamente, entonces tengo dudas de cómo aplicarlo en dos variables alrededor de un punto porque llego a cosas que no están bien. Por ejemplo x'=raíz(|t-x)|) alrededor de (2,1) usando la definición es imposible de calcular :(

Re: se puede usar la derivada parcial para ver si es localmente Lip.?

de Bruno Yemini - lunes, 11 de septiembre de 2023, 08:37

Hola Nataly,

La función $f(t,x) = \sqrt{|t-x|}$ no es derivable en la recta $t=x$ , pero en el resto de los puntos de $\mathbb{R}^2$ se tiene que $f$ es clase $C^1$ (continua y con derivadas parciales continuas). Eso implica que, si $t_0 \neq x_0$ , existe un entorno de $(t_0, x_0)$ donde $f$ verifica la condición de Lipchitz en la variable $x$ . Entonces no tendrías dramas -ni que buscar la condición de lipchitz "a mano"- en el punto $(2,1)$ .

Saludos

Bruno

Re: se puede usar la derivada parcial para ver si es localmente Lip.?

de Nataly Melanie Ruber Maimo - lunes, 11 de septiembre de 2023, 11:07

No deberías fijarte usando la definición en caso de que la derivada df/dx te de que no existe para algún (to,xo)? Por ejemplo en este caso, para ver en los puntos de la recta t=x? Yo digo porque hay un teorema que dice que si tiene derivada df/dx en un punto entonces es Lipchitz pero que al revés no se cumple, o sea puede no tener derivada y ser liptchitz, en este caso si afirmas que no es Lipschitz en t=x cabría la posibilidad de que lo fuera pero que la derivada no te lo diga ?(o sea en este caso sé que es cierto porque lo dice la solución pero ta) ,aunque capaz me confundí el teorema que dije