Intente hacerlo por coordenadas esfericas y me tope con tu mismo problema patricia.
Despues lo que hice fue obtener la ecuación de la esfera de radio 2 (x^2 + y^2 +z^2 = 4), para luego decir que como y = 2 -x, entonces y^2 = x^2 -4x +4.
Paso siguiente pongo a y^2 en la ecuacion de la esfera y obtengo a z en funcion de x.
Luego hago el C.V x = t, entonces y = 2 -t, entonces z = masmenosALGO.
Una vez tenidos todos esos elementos, puedo saber la curva parametrizada p(t) y su derivada, y puedo hacer el producto escalar:
<(Y,Z,X),(derivada p(t))>
Una vez determinado ese producto escalar, y sustituido los Y,Z y X por sus valores con el parametro "t", puedo decir que tengo al "cuerpo" de la derivada, solo me faltan los intervalos.
Yo pense que como x = t, se movia entre -2 y 2, esos serían los intervalos a escojer, pero hago la cuenta en wolframalpha.com, y me da unos numeros complejos.
Yo pensaba hacer eso con el Z positivo, y luego con el Z negativo.
En el siguiente link podran ver a la integral que llegue. (Parte con z positivo)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%282+%2Bx+-sqrt%284x+-+2x%5E2%29++%2B%28sqrt%282%29*x*%281-x%29%29%2F%28%282x+-+x%5E2%29%5E%281%2F2%29%29%29+
La verdad que esta dificil esta parte... yo la dejo por ahi, sino no avanzo mas. Si algun/a groso/a sabe como ayudarnos, bienvenido sea.