Foro Práctico 5

Hola Ayelén,

Primero, con la desigualdad ya alcanza porque luego si la función que queremos integrar es convergente, como la integral de $\frac{sin(x)}{\sqrt x}$ también es convergente, la resta nos quedaría de ambas nos quedaría convergente pero acabamos de ver que no lo es.

Para la integral de $sen(u^2)$ te recomiendo multiplicar y divider por $2u$ y ahí sí aplicar lo que dice el ejercicio 5.

Por último, para estudiar la integral de $\frac{sin^2(x)}{x}$ podemos usar la peridicidad del númerador y compararlo en cada intervalo de la forma $[k\pi , (k+1) \pi]$, y luego hacer la suma infinita. Es decir, tenemos que estudiar la integral en cada uno de esos intervalos y probar que es más grande que algo del orden de $\frac{1}{k}$. Primero podemos ver que $\frac{1}{x}$ en ese intervalo es mayor a $\frac{1}{(k+1)\pi}$. Luego sabemos que $sen(x)$ es mayor a $\frac{1}{2}$ si nos restringimos al intervalo más pequeño $[k\pi + \frac{1}{6} \pi, k\pi + \frac{5}{6} \pi ]$. Entonces conseguimos ver que
$\int_{k \pi}^{(k+1)\pi} \frac{sin^2(x)}{x} dx \geq \int_{k \pi + \frac{1}{6} \pi}^{k\pi + \frac{5}{6} \pi} \frac{sin^2(x)}{x} dx \geq \int_{k \pi + \frac{1}{6} \pi}^{k\pi + \frac{5}{6} \pi} \frac{1}{4} \frac{1}{(k+1)\pi} dx = \frac{2 \pi}{3} \frac{1}{4(k+1)\pi} = \frac{1}{6(k+1)}$
Luego sumando los infinitos términos obtenemos que la integral diverge.

Te sugiero hacer la representación gráfica de esta última parte, es decir, graficar un bosquejo de la función y del rectángulo que estamos construyendo dentro del área que queremos calcular, de forma de ayudar a seguir el hilo del razonamiento. Comentame nomás si no se entiende bien alguna parte de lo que puse o si te surge alguna duda.
Saludos,
Leandro