Práctico 4 ejercicio 9

Práctico 4 ejercicio 9

de Marcos Dura Sosa -
Número de respuestas: 6

Buenas, 

Tengo una duda respecto al ejercicio. Dice que demostremos qué hay un conjunto de días consecutivos en lo que estudio 14 veces, y a su vez nos dice que estudio 30 días consecutivos al menos una vez y que el total de estudio fue de 45 veces. 

Por lo que después de repartir 30 de esas veces en los 30 días que estudio consecutivos quedarían 15 entrenamientos para repartir. 

Pero con la primicia de que estudio 30 dias seguidos ya se demuestra que existe un conjunto de dias en los que estudió 14 veces y sería exactamente 14 días consecutivos, sin necesidad de repartir los 15 días que sobran. 

Nose si me estoy equivocando o no entiendo lo que se pide. 

Muchas gracias.

Marcos. 

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Re: Práctico 4 ejercicio 9

de Gabriel Mello -
Hola Marcos.

El detalle está en que te pide probar que hay un período en el que estudió exactamente 14 veces, no 14 o más veces. Hay que ver que en algún período no pasó por ejemplo de 13 a 15.

Saludos
Gabriel
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Re: Práctico 4 ejercicio 9

de Leandro Jair Machado Da Silva -
Hola,

Yo no sé cómo pensar este ejercicio. Intenté de dos formas pero me tranco, no veo cómo debería aplicar el Principio del Palomar para demostrar esto, ¿alguna pista? Intenté de las siguientes formas:

  1. Considero  A = \{ \{1,2\},\{2,3\},\dots,\{29,30\},\{1,2,3 \},\{2,3,4\},\dots,\{28,29,30\},\dots,\{1,2,\dots,14\},\{2,3,\dots,15\},\dots,\{17,\dots,30\}\} y  B = \{2,3,\dots,29\} , ya que los valores mínimo y máximo de la función  f:A\rightarrow B que a cada elemento de A le asigna la cantidad de veces que estudió en esos días es 2 y  29 = 45-16 , respectivamente. Luego,  \left \lceil \frac{|A|}{|B|} \right \rceil = \left \lceil \frac{\sum_{i=17}^{29}i}{28} \right \rceil = 11 . Pero no veo que esto me sirva para demostrar lo que se pide.
  2. Lo que sabemos por letra es  \begin{cases} \sum_{k=1}^{30}n_i = 45 \\ n_i \geq 1, \forall i \in \{1,\dots,30\} \end{cases} y hay que probar que  \exists i,j \text{ con } 1 \leq i < j \leq 30 \text{ tales que } \sum_{k=i}^{j} n_i = 14 pero hasta ahí llego, puedo calcular la cantidad de soluciones del sistema pero no sé de qué serviría.

¿Algún pique de cómo seguir o cómo pensarlo? Gracias

Saludos,

Leandro
En respuesta a Leandro Jair Machado Da Silva

Re: Práctico 4 ejercicio 9

de Gabriel Mello -
Hola Leandro.

En vez de pensar las veces estudiadas cada día, pensá en las veces estudiadas en total desde el primer día. Llamémosle a_i a dicha cantidad. Buscás i,j tales que la diferencia sea igual a 14. Considerá el rango que pueden tomar los a_i y los a_i+14 y considerá la unión de todos esos números observando que como estudia al menos una vez por día, para i distinto de j son distintos.

Fijate si con eso te da para ver cómo aplicar el principio del palomar. Si no volvé a preguntar.

Saludos,
Gabriel
En respuesta a Gabriel Mello

Re: Práctico 4 ejercicio 9

de Leandro Jair Machado Da Silva -
Bien, gracias. Llego a que  i \leq a_i \leq i + 15 y, por lo tanto,  i + 14 \leq a_i + 14 \leq i + 29 . Entiendo que queremos encontrar i < j tales que  a_j = a_i + 14 . No sé si entendí bien lo que comentas de considerar la unión de los números, pero pensé en considerar A = \{i \in \mathbb{N} | 1 \leq i \leq 60\} y B = \{1,\dots,59\} , pensando en una función f: A \rightarrow B que, para los primeros 30 valores de A ( 1 \leq i \leq 30 ), devuelve a_i , mientras que para los últimos 30 valores de A , devuelve a_{i-30} + 14 .

La idea es que, como a_i \neq a_j, \, \forall i \neq j , si hay dos elementos de A que tienen la misma imagen en B por f , entonces queda demostrada la tesis. Pero B tiene 59 elementos, es decir, uno menos que A , ya que lo mínimo que puede valer f(i) es 1 (es el caso de f(i=1) = a_i = 1 ), y lo máximo que puede valer es 59 ( f(i=60) = a_{60-30} + 14 = a_{30} + 14 = 45 + 14 = 59 ). O sea, seguramente hay alguna parte del razonamiento que no la estoy haciendo de forma conveniente, pero no logro identificarla como para corregirla.

Saludos,
Leandro 
En respuesta a Leandro Jair Machado Da Silva

Re: Práctico 4 ejercicio 9

de Gabriel Mello -
Hola, tu razonamiento está perfecto.

Cuál es la parte que no te convence o no te queda clara? Definiste perfectamente una función entre dos conjuntos finitos con codominio más chico que dominio, por el principio del palomar no es inyectiva y por lo que justificaste llegás a la tesis.

Saludos,
Gabriel