Foro Práctico 3

Hola Franco,
Primero decirte que está buena la idea y me parece genial el intento sin ver la resolución. Como decís el "paso tenebroso" no lo podemos usar, porque esos valores no son iguales a $1$ sino que difieren por algún valor que podemos llegar a acotar. A simple vista no veo cómo arreglarlo, tal vez acotando por otra cosa esos cocientes y operando podemos llegar.
De todas formas, en algún momento hay que ser más exigente con la cota que te tomás. La razón es la siguiente, imaginemos $A,B>1$, luego $(A+\sqrt \epsilon)(B+\sqrt \epsilon )=AB + \sqrt \epsilon (A+B) + \epsilon$. Por lo que si estamos a $\sqrt \epsilon$ de $A$ y a $\sqrt \epsilon$ de $B$, en el producto le erramos por $\sqrt \epsilon  (A+B) + \epsilon$ a $AB$. Si $\epsilon$ es muy chico entonces $\sqrt \epsilon$ es bastante mayor (tiene la mitad de dígitos luego de la coma si lo pensamos en décimal), por lo tanto le estamos "errando" a $AB$ por un más de lo que queremos. Para ejemplificar podés pensar valores concretos, tomar las sucesiones iguales $a_n = b_n = 10+\frac{1}{n}$, tomar $\epsilon = 1/100$ (por lo tanto $\sqrt \epsilon  = \frac{1}{10}$, y ver que cuando tomamos $n=10$ se cumple que le erramos al límite de las sucesiones por bastante más que el $\epsilon$. De hecho le estamos errando por algo del orden de $\sqrt \epsilon$, es decir, $\sqrt \epsilon$ multiplicada por una constante que es $A+B$.
Espero se pueda seguir la respuesta, cualquier cosa consultás nomás. Largarnos a intentar probar algo y encontrarnos con una obstrucción nos ayuda a entender más que antes el problema, además de que la idea podía ser un buen punto de partida, así que me parece un buen intento de prueba.
Saludos,
Leandro