CDIVV-2S: Ejercicio 2 Parte C

Hola buenas, el ejercicio te pide demostrar la siguiente proposición: " Sean

$a_{n}$ y

$b_{n}$ dos sucesiones reales convergentes tales que sus limites son

$A$ y

$B$ respectivamente: demostrar que

$d_{n} = a_{n}b_{n}$ tiene limite

$AB$ " intenté demostrarlo por mi cuenta antes de ver la solución, y si bien llegue a algo, me serví de un paso que considero "tenebroso", por decirle de alguna manera jajaja. Supongo que esta demostración no es válida, pero me gustaría saber porque exactamente.

La demostración es la siguiente:

Dado que $a_{n} \to A \wedge b_{n} \to B$ , tenemos que,

* Sea $\epsilon > 0$ : $\exists n_{1} \in \mathbb{N} : | a_{n} - A | < \epsilon \quad \forall n>n_{1} \wedge \exists n_{2} \in \mathbb{N} : | b_{n} - B | < \epsilon \forall n>n_{2}$

En particular, ambas proposiciones se cumplen para $\epsilon := \sqrt{\epsilon} \wedge N := máx(n_{1}, n_{2})$

Entonces: $|a_{n} - A| \cdot |b_{n} - B| < (\sqrt(\epsilon))^{2} = \epsilon \forall n > N$

Por propiedad de valor absoluto, el producto de los valores absolutos es el valor absoluto del producto: $|a_{n} - A| \cdot |b_{n} - B| = |(a_{n} - A)(b_{n} - B)| \implies |a_{n}b_{n} - Ab_{n} - a_{n}B + AB| < \epsilon \implies |a_{n}b_{n} + AB - AB(\frac{a_{n}}{A} + \frac{b_{n}}{B})| < \epsilon \quad \forall n > N$

Y el "paso tenebroso", es que como por hipótesis, estamos trabajando a partir de un momento N para el cuál se cumple que tanto $a_{n}$ como $b_{n}$ son arbitrariamente cercanos a $A$ y $B$ respectivamente, asumo que $\frac{a_{n}}{A} = 1 \wedge \frac{b_{n}}{B} = 1$ , luego $|a_{n}b_{n} + AB - AB(1 + 1)| < \epsilon \implies |a_{n}b_{n} + AB - 2AB| = |a_{n}b_{n} - AB| < \epsilon \forall n > N$

En definitiva, estoy tomando el límite de las fracciones en un entorno arbitrariamente pequeño de los límites y asumiendo entonces que ese cociente da 1, lo cuál dudo que sea "legal", pero es a lo mejor que pude llegar sin recurrir a las ideas felices para factorizar a conveniencia las expresiones. De antemano, noté un problema y es que estaría dividiendo entre cero si cualquiera de los dos límites, A o B fuesen cero, pues por hipótesis, tranquilamente podrían darse esos casos.

Agradezco cualquier comentario respecto a si esto esta bien o esta mal, y si esta mal, si puede modificarse algo para corregirlo. Muchas gracias.

Re: Ejercicio 2 Parte C

de Leandro Bentancur - sábado, 2 de septiembre de 2023, 16:05

Hola Franco,
Primero decirte que está buena la idea y me parece genial el intento sin ver la resolución. Como decís el "paso tenebroso" no lo podemos usar, porque esos valores no son iguales a

$1$ sino que difieren por algún valor que podemos llegar a acotar. A simple vista no veo cómo arreglarlo, tal vez acotando por otra cosa esos cocientes y operando podemos llegar.
De todas formas, en algún momento hay que ser más exigente con la cota que te tomás. La razón es la siguiente, imaginemos

$A,B>1$ , luego

$(A+\sqrt \epsilon)(B+\sqrt \epsilon )=AB + \sqrt \epsilon (A+B) + \epsilon$ . Por lo que si estamos a

$\sqrt \epsilon$ de

$A$ y a

$\sqrt \epsilon$ de

$B$ , en el producto le erramos por

$\sqrt \epsilon (A+B) + \epsilon$ a

$AB$ . Si

$\epsilon$ es muy chico entonces

$\sqrt \epsilon$ es bastante mayor (tiene la mitad de dígitos luego de la coma si lo pensamos en décimal), por lo tanto le estamos "errando" a

$AB$ por un más de lo que queremos. Para ejemplificar podés pensar valores concretos, tomar las sucesiones iguales

$a_n = b_n = 10+\frac{1}{n}$ , tomar

$\epsilon = 1/100$ (por lo tanto

$\sqrt \epsilon = \frac{1}{10}$ , y ver que cuando tomamos

$n=10$ se cumple que le erramos al límite de las sucesiones por bastante más que el

$\epsilon$ . De hecho le estamos errando por algo del orden de

$\sqrt \epsilon$ , es decir,

$\sqrt \epsilon$ multiplicada por una constante que es

$A+B$ .
Espero se pueda seguir la respuesta, cualquier cosa consultás nomás. Largarnos a intentar probar algo y encontrarnos con una obstrucción nos ayuda a entender más que antes el problema, además de que la idea podía ser un buen punto de partida, así que me parece un buen intento de prueba.
Saludos,
Leandro