Hola, quería saber cuál era el razonamiento para llegar a la respuesta de que L=U=I, ya que yo marqué que dependía de P. Gracias!
En respuesta a Nicolas Grosso San Roman
Re: pregunta 5, cuestionario 3
Conceptualmente, usando el planteo general de la descomposición LU, se iba a tener una matriz permutación 
tal que 
. Al ser 
una matriz permutación el pivoteo iba a resultar en la "despermutación" de la matriz , es decir que se iban a intercambiar las filas de modo tal que la matriz se volviera a transformar en la matriz identidad 
(recordando que una matriz permutación es una matriz identidad con filas y/o columnas permutadas). En otras palabras, 
y 
.
Luego se tiene que
y se desprende la segunda igualdad.
tal que . Al ser una matriz permutación el pivoteo iba a resultar en la "despermutación" de la matriz , es decir que se iban a intercambiar las filas de modo tal que la matriz se volviera a transformar en la matriz identidad (recordando que una matriz permutación es una matriz identidad con filas y/o columnas permutadas). En otras palabras, y .Luego se tiene que
y se desprende la segunda igualdad.
En respuesta a Juan Manuel Rivara De Leon
Re: pregunta 5, cuestionario 3
Muchas gracias, entiendo todo menos cuando dices que P~=P^−1, por qué sería eso?
En respuesta a Nicolas Grosso San Roman
Re: pregunta 5, cuestionario 3
Viene de esto a lo que llamé la "despermutación", básicamente las permutaciones para llevar la matriz a van a ser las permutaciones inversas a las cuales llevaron de a .
a van a ser las permutaciones inversas a las cuales llevaron de a .
En respuesta a Juan Manuel Rivara De Leon
Re: pregunta 5, cuestionario 3
Si pero por qué necesariamente debes llevar P a I? Entiendo que la matriz P moño te lo lleva a alguna permutación de P, pero no necesariamente la Identidad. Yo lo veo más por el lado de que L debe ser de la forma triang. inferior y con 1s en la diagonal, y no queda otra que L = I, y de ahí despejar que P moño es P inversa.
En respuesta a Nicolas Grosso San Roman
Re: pregunta 5, cuestionario 3
La matriz se lleva a porque el pivoteo lo fuerza. En una columna pivot dada va a haber una única fila que no tenga un 0 en su celda para la columna pivot (que va a tener un 1), sobre la cual luego vas a pivotar. Como el resto queda 0 en la columna pivot no vas a tocar luego más nada para ese paso (en otras palabras, para ese pivoteo los multiplicadores son todos 0). Sucesivamente esto va a llevar a que vayas "acomodando" la matriz de modo tal que si vas por la fila 
, para todas las filas anteriores la matriz que estás formando va a ser igual a la identidad.
Sobre lo otro que comentas, también es válido, suponiendo que uno ya sabe que
, concluir 
y luego . Ahí tendrías que demostrar que 
, supongo que el argumento para demostrarlo sería una variante del razonamiento que te comentaba.
se lleva a porque el pivoteo lo fuerza. En una columna pivot dada va a haber una única fila que no tenga un 0 en su celda para la columna pivot (que va a tener un 1), sobre la cual luego vas a pivotar. Como el resto queda 0 en la columna pivot no vas a tocar luego más nada para ese paso (en otras palabras, para ese pivoteo los multiplicadores son todos 0). Sucesivamente esto va a llevar a que vayas "acomodando" la matriz de modo tal que si vas por la fila , para todas las filas anteriores la matriz que estás formando va a ser igual a la identidad.Sobre lo otro que comentas, también es válido, suponiendo que uno ya sabe que
, concluir y luego . Ahí tendrías que demostrar que , supongo que el argumento para demostrarlo sería una variante del razonamiento que te comentaba.
En respuesta a Juan Manuel Rivara De Leon
Re: pregunta 5, cuestionario 3
Hola Nicolás y Juan Manuel,
Esta pregunta iba a que si tu matriz es de permutación, entonces al hacer escalerización gaussiana con pivoteo parcial no tenés que calcular ningún multiplicador, y el sistema ya te queda triangular superior (con
la matriz identidad!) reordenando filas. Como no tuviste que hacer aparecer ningún multiplicador, la matriz 
también queda la identidad.
Esto no lo precisabas para responder la pregunta, pero respecto a lo de en la primera respuesta, de hecho se tiene que la inversa de una matriz de permutación es su traspuesta. Cuando hacés la descomposición LU de una matriz de permutación (usando EG con pivoteo parcial), la matriz de permutación que aparece en esa descomposición es la traspuesta y las triangulares inferior y superior son la identidad.
Esta pregunta iba a que si tu matriz es de permutación, entonces al hacer escalerización gaussiana con pivoteo parcial no tenés que calcular ningún multiplicador, y el sistema ya te queda triangular superior (con
la matriz identidad!) reordenando filas. Como no tuviste que hacer aparecer ningún multiplicador, la matriz también queda la identidad.Esto no lo precisabas para responder la pregunta, pero respecto a lo de
en la primera respuesta, de hecho se tiene que la inversa de una matriz de permutación es su traspuesta. Cuando hacés la descomposición LU de una matriz de permutación (usando EG con pivoteo parcial), la matriz de permutación que aparece en esa descomposición es la traspuesta y las triangulares inferior y superior son la identidad.
En respuesta a Juan Pablo Borthagaray
Re: pregunta 5, cuestionario 3
Ah, claro, no era lo que razoné en su momento pero es más sencillo el argumento de que al tener multiplicadores 0 la matriz se convierte en la identidad.
Gracias por la aclaración.
Saludos.
se convierte en la identidad.Gracias por la aclaración.
Saludos.