CDIVV-2S: Teorema 10.1 (Apostol, pg 466 - Sucesiones)

Buen día, hay una cuestión que no me cierra aún acerca del siguiente enunciado:
(supongo que es lo mismo a lo que se vio en teórico donde se trató de demostrar que si una sucesión tiene límite (converge) entonces está acotada)

Entiendo hasta la parte de la deducción que dice:

$L-\epsilon< f(n)\le L$
Pero luego no comprendo por qué

$0\le L- f(n) < \epsilon$
No sé si está bien razonarlo de la siguiente forma :

$L-\epsilon< f(n)\le L \Leftrightarrow\\ L-\epsilon -L< f(n)-L\le L-L \Leftrightarrow \\ -\epsilon< f(n)-L\le0 \Leftrightarrow \\\epsilon>L- f(n)\geq0$

Básicamente restaría

$L$ en la desigualdad, que supongo eso hace, pero no sé que me dice hacer eso