Podrían darme algún consejo para darme cuenta cuando debería usar Inducción Completa o Inducción Fuerte en una demostración?
Hola Alen.
Los principios de inducción sobre los naturales sirven para demostrar propiedades que se cumplen para todos los naturales a partir de un primero que lo cumpla. En general son especialmente útiles cuando para demostrar que la propiedad se cumple para un número dado, es útil saber que se cumple para el (o los) anterior(es). Esto pasa frecuentemente cuando el problema con el que estamos trabajando "se construye" en algún sentido en base a versiones más chicas de sí mismo.
En general toda demostración correcta resultante de aplicar el principio de inducción completa es también una demostración válida y correcta si hubiéramos dicho que estábamos usando el principio de inducción fuerte. Esto se debe a que las hipótesis inductivas del P.I.F. contienen a las del P.I.C. El caso inverso no es cierto (aunque los principios sí son equivalentes, pero la demostración de que el principio de inducción completa implica el principio de inducción fuerte no es tan trivial).
Para saber si es conveniente usar el principios de inducción fuerte en lugar del principio de inducción completa basta con analizar si es necesario asumir cierto que la propiedad ya se cumple para algún natural distinto de n (como n-1 o n-2) al demostrar que se cumple para n+1.
Saludos,
Gabriel
Los principios de inducción sobre los naturales sirven para demostrar propiedades que se cumplen para todos los naturales a partir de un primero que lo cumpla. En general son especialmente útiles cuando para demostrar que la propiedad se cumple para un número dado, es útil saber que se cumple para el (o los) anterior(es). Esto pasa frecuentemente cuando el problema con el que estamos trabajando "se construye" en algún sentido en base a versiones más chicas de sí mismo.
En general toda demostración correcta resultante de aplicar el principio de inducción completa es también una demostración válida y correcta si hubiéramos dicho que estábamos usando el principio de inducción fuerte. Esto se debe a que las hipótesis inductivas del P.I.F. contienen a las del P.I.C. El caso inverso no es cierto (aunque los principios sí son equivalentes, pero la demostración de que el principio de inducción completa implica el principio de inducción fuerte no es tan trivial).
Para saber si es conveniente usar el principios de inducción fuerte en lugar del principio de inducción completa basta con analizar si es necesario asumir cierto que la propiedad ya se cumple para algún natural distinto de n (como n-1 o n-2) al demostrar que se cumple para n+1.
Saludos,
Gabriel