Practico 1 ej 3

Practico 1 ej 3

de Francisco Mattos Stocco -
Número de respuestas: 1

Buenas , me quedé trancado en el paso inductivo 


En respuesta a Francisco Mattos Stocco

Re: Practico 1 ej 3

de Pablo Romero -
Buenas noches Francisco,
Hay algunos errores en tu escrito.
Primero, confundes la definición de la proposición P(n), que se espera tenga valor de verdadero o falso para un valor concreto natural n, con lo que quieres probar.

Tienes que definir la proposición P(n): 2^n\geq n^2. 
Luego, tu objetivo es encontrar el primer entero positivo n_0 tal que se cumple que \forall n\geq n_0, P(n)

Al inicio "tanteas" para proponer un primer valor n_0. Dado que a partir de tu tanteo se deduce que P(3) es falsa, luego P(4) es verdadera y P(5) es verdadera, la "sospecha" es que \forall n\geq 4, P(n).

Ahora te propones la siguiente afirmación: \forall n\geq 4, P(n).

Siempre que vayas a iniciar una demostración mediante el principio de inducción completa debes aclararlo desde el inicio. En caso contrario, el lector no sabe tu intención. Entonces, debes incluir la siguiente oración:
"A continuación vamos a probar la afirmación anterior empleando el principio de inducción completa".
Sea S=\{n \in \mathbb{N}, n\geq 4\}. El conjunto S está contenido en los naturales, y por lo tanto satisface el principio del buen orden. Nuestra afirmación consiste en probar que \forall n\in S, P(n). 
Además, el mínimo de los elementos de S es precisamente 4. Entonces, el paso base consiste en probar P(4).

Luego sigues con la demostración del paso base y con la demostración del paso inductivo. Dejo que lo escribas. Es importante tomar el hábito de escribir detalladamente todas las partes de una demostración empleando el principio de inducción completa.

Al final, es importante agregar la siguiente frase:
"Como hemos probado tanto el paso base como el paso inductivo, el conjunto S satisface el principio del buen orden y el principio del buen orden implica el principio de inducción completa, se sigue que \forall n\in S, P(n)."

Tu escrito no está completo, y lo más delicado es que no se sabe en dónde empieza la demostración del paso base, ni tampoco cuándo empieza la demostración del paso inductivo. En particular, lo que escribiste luego de "P.B." es una serie de desigualdades, y no es lo que corresponde para el paso base. Además, es importante además indicar el lugar donde utilizas la hipótesis inductiva, y escribir qué es la hipótesis inductiva (antes de empezar con la demostración del paso inductivo). 

Te invito a que escribas una demostración completa en base a mis comentarios, y luego me ofrezco a revisar nuevamente.

Cordiales saludos,
Pablo.