Ejercicio 5)c)

Ejercicio 5)c)

de Diego Subeldia Loureiro -
Número de respuestas: 2

Hola, estoy teniendo dificultades con la parte $$c)$$ del ejercicio.

Entiendo que jugadas que tengan por lo menos 2 de los 5 números elegidos a priori implica que tengo $$\binom{5}{2}=10$$ combinaciones posibles de jugadas para empezar. El problema a diferencia de la parte anterior (parte $$b)$$), en la que necesitaba exactamente un número (descartando los otros 4) para cada combinación, es que se me empiezan a repetir las combinaciones. Muestro el razonamiento que hice.

Siendo $$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$$ los números elegidos y $$o$$ números cualesquiera de entre los 31 restantes:
En principio manejo la jugada que empieza con $$(x_{1},x_{2},o,o,o,)$$. Esta jugada tiene $$\binom{34}{3}=5984$$ combinaciones. Pensé en hacer $$\binom{34}{3}*10$$ y que ese sería el total, pero me parece que no es por ahí. Si ahora tomo la jugada que empieza por $$(x_{1},x_{3},o,o,o,)$$ esta tiene $$\binom{33}{3}$$ combinaciones, dado que en la jugada anterior podrían haber salido combinaciones que además de tener a $$x_{1}, x_{2}$$ también tengan a $$x_{3}$$, lo que me lleva a descartar un número en el coeficiente binomial.
Se me empieza a complicar cuando avanzo en las combinaciones y no me doy cuenta si tengo que seguir sacando de a 1 o de qué otra forma seguir.

Agradezco la ayuda.
En respuesta a Diego Subeldia Loureiro

Re: Ejercicio 5)c)

de Jazmin Finot -
Hola,
Al hacer $$5\choose 2$$ $$34 \choose 3$$ estas eligiendo 2 entre los cinco números $$x_1, x_2, x_3, x_3, x_5$$ y después otros 3 entre los 34 que quedan para completar la jugada. El problema es que al hacer esto hay jugadas que estamos contando varias veces justamente por lo que decís vos de que podrían haber salido combinaciones que además de tener a $$x_1, x_2$$ también tengan a $$x_3$$
Por ejemplo: $$(x_1, x_2, o, x_3, o)$$ y $$(x_1, x_3, o, x_2, o)$$  son la misma jugada pero las estamos contando como diferentes porque al hacer $$5\choose 2$$ $$34 \choose 3$$ nos importan cuales son los dos números que elegimos primero.
Entonces, una forma de encarar este ejercicio seria distinguir entre los casos posibles. Al decir que tiene que haber al menos dos entre $$x_1, x_2, x_3, x_3, x_5$$ lo que buscamos es jugadas que tengan exactamente dos o exactamente tres o exactamente 4 o exactamente 5. Estos cuatro casos son disjuntos entonces se pueden contar por separado y luego sumarse.