Hola Mauricio,
es una buena pregunta. Muchas veces en matemática las definiciones parecen ser expresiones arbitrarias, que después corroboramos que cumplen tal o cual propiedad deseable. Este caso puede ser uno de esos, pero no es el primero que ven, ni será el último.
Hay un camino para hacerlo de la otra forma, es decir, buscamos definir una función exponencial que cumpla tales propiedades (por ejemplo, que en los reales sea la exponencial que conocemos, y que tenga la propiedad que la exponencial de la suma es el producto de las exponenciales). Algo similar pasa en la exponencial real, que si imponemos ciertas propiedades que queremos que tenga esa función, se puede llegar a cuál es la "definición correcta" para que cumpla todo eso.
Ese camino en general es un poco más largo, y si bien lo podríamos hacer, nos llevaría un tiempo que no tenemos en este curso. Si fuera un curso de análisis complejo sí quizás lo podríamos hacer así, porque sería el foco del curso.
Hay otro argumento posible, que dejo aquí a modo de curiosidad.
Nosotros definimos el producto en los complejos (y por lo tanto las potencias). Entonces podríamos definir por analogía la exponencial compleja a través de su serie de potencias.
En R ustedes saben que
. Bueno, esas operaciones las tenemos en los complejos, así que podríamos definir
, donde ahora esas sumas y productos son en el cuerpo de los complejos. Hay que hacer un análisis de convergencia aquí, que también escapa los objetivos del curso, pero es un camino posible.
Luego hay que ver que esa serie converge efectivamente a la expresión tal como la definimos (¡pero ni siquiera sabemos qué es una serie todavía! Para eso faltan un par de semanas)
Saludos!
Marcelo
¿cómo es que se llega a eso?