CDIVV-2S: Notas del curso. Exponencial Compleja (pg 13)

Buenas noches, tengo una duda sobre la siguiente definición:

No comprendo lo siguiente:

dado $z=a+bi$ la exponencial compleja se la define como $e^z$ , ¿no sería entonces $e^z=e^{a+bi}$ ? No entiendo por qué se multiplica a $e^a(cos(b)+isin(b))$

Re: Notas del curso. Exponencial Compleja (pg 13)

de Marcelo Fiori - miércoles, 2 de agosto de 2023, 11:14

Hola Alexis,
Antes de la definición 1.15, ni la expresión

$e^z$ (con z complejo) ni la expresión

$e^{a+ib}$ tienen sentido, porque no estaban definidas. Eso es lo que tenemos que definir. Son dos maneras de escribir lo mismo, en un caso usando la variable z para denotar un complejo z=a+bi genérico.
La definición en sí, lo más importante de esa imagen, es justamente la expresión

$e^a(\cos(b)+i\sin(b))$ . Eso es lo nuevo, y así es como se define la exponencial de un complejo z con parte real a y parte imaginaria b.