Foro de consultas de teórico

Buenas, mi duda es con respecto a la parte de la aproximación. No entiendo bien el razonamiento. Para mí no debería ser correcto usar desarrollo de Taylor alrededor de x, porque x es un número que no conocemos. En todo caso podríamos hacer Taylor alrededor de $\bar{x}$ para aproximar f(x) y quedaría como sigue:

$\varepsilon _y=\frac{\bar{y}-y}{y}=\frac{f(\bar{x})-f(x)}{f(x)}\approx\frac{f(\bar{x})-(f'(\bar{x})(x-\bar{x})+f(\bar{x}))}{f(x)}=\frac{-f'(\bar{x})(x-\bar{x})}{f(x)}=\frac{f'(\bar{x})(\bar{x}-x)}{f(x)}\approx \frac{f'(x)(\bar{x}-x)}{f(x)}$

de donde la última aproximación sale de asumir $f'(\bar{x})\approx f'(x)$ usando como hipótesis que f de clase $C^1$ como mencionó Juan Pablo en clase. Pero como en las notas no está esa hipótesis, no sé realmente si está bien el razonamiento